多元函数的极限与连续 概念总结

由于多元函数是定义在 $n$ 维欧式空间上的，所以我们需要先给出一些关于 $n$ 维欧式空间中的概念

n 维欧式空间

给定 $n$ 维欧式空间中的点集 U，那么就可以引申出来大量的概念。

U 的内部的点

U 的边界点

U 的聚点

U 的触点

U 的闭包

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多元函数的极限

函数极限的定义都是大同小异的，也就是对于所有 $\epsilon>0$ 都存在 $\delta>0$ 使得邻域 $U_{\delta}(X)$ 中的所有 $X'$ 满足 $|f(X')-a|<\epsilon$ 那么我们称 $\lim\limits_{X'\to X}f(X') = a$

多元函数和一元函数不同的是这里 $X'\to X$ 的过程。如果自变量有 $x_1\dots x_n$ 那么这些自变量之间可能满足很复杂的关系。例如 $(x,y)\to (0,0)$，我们可以是 $y=0,x\to 0$ 也可以是 $y=x$ 或者 $y=x^2$

多元函数的连续

这和一元函数的连续也是一样，$\forall \epsilon>0$ 都存在 $X$ 的邻域 $U_{\delta}(X)$ 满足邻域里面的点的函数值和$f(X)$ 的差的绝对值不超过 $\epsilon$

邻域这个限制十分抽象，我们希望通过限制单个自变量（比如 $f(X)$ 对于 $x_1,\dots x_n$ 都连续）来达到一样的效果。

十分遗憾，$f(X)$ 在 $X_0$ 连续并不能用 将 $f(X)$ 视为关于每个自变量的函数连续 推出。不过我们再施加一些新的条件也是可以说明的。例如：

在二元函数中，两维连续，一维单调；

或者 $f$ 是紧集到紧集的映射；

或者 $f$ 满足某种一致性：在 $X_0=(x_0,y_0)$ 的邻域 $U=\{(x,y)| |x-x_0|< \eta,|y-y_0|< \eta\}$ 中对于所有 $\epsilon>0$,满足 $\exists \delta>0\ s.t. \forall x \ s.t. |x-x_0|<\delta$ 都有 $\forall 0<|y-y_0|<\eta$ 都有 $|f(x,y)-f(x,y_0)|<\epsilon$

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在连通集中连续函数满足介值定理。例如定义在集合 $U={(x,y)|x^2+y^2 = r^2}$ 的连续函数 $f$ 满足存在两个不同的点函数值相等。