【考试总结】2022-07-30

水晶

异或和为 $0$ 可以通过 $n-1$ 个乱选，钦定一个抵消来实现。

那么枚举这 $n$ 个数字的 $\rm LCP$，求 $f_{i,0/1,0/1}$ 表示前 $i$ 个数字有奇数/偶数个选择这位填 $1$ 以及是否有一个选择这位低于上界 $M_i$ 的。

转移不再赘述。

根据是含义处理边界，例如 $n$ 个数字有奇数个当前位是 $1$ 那么停止枚举 $\rm LCP$

物品

区间答案为 $\displaystyle\prod_{i=1}^n (cnt_i+1)$ ，$+1$ 表示不选，否则只能选一个

分块。

预处理每个块的左端点开都得后缀每个 $a_i$ 都出现了多少次，在 $\Theta(n\sqrt n)$ 的空间复杂度下可以做到 $\Theta(1)$ 求一段块中任意元素出现次数

预处理每个块左端点到它开头的后缀的每个前缀的答案，时空复杂度都是 $\Theta(n\sqrt n)$

对于区间长度小于根号者暴力，否则先继承询问右端点到询问左端点所在块后面一个的答案，并且把指针从块尾挪到 $L$ 时动态维护答案即可。

颜色

重量为 $0$ 的物品提前选上。特判一些边界，比如 $L$ 大于同号 $a_i$ 的和

尝试构造一个选出物品数量最多且总重量 $\le L$ 的解：

预选所有重量为负的物品，之后每个正 $i$ 可以加入，给数量加一，重量 $+i$。为负的元素可以给数量减一，给重量加 $i$。贪心使得增量最大，减量最小。于是先从 $1\sim n$ 加入，删除则按照 $-n\sim -1$ 的顺序

注意这个过程要达到的目的是 数量最大。

当限制变成 $=L$ 时需要进行一些调整。可以发现对于贪心策略得到的选值方案而言，等于 $L$ 的方案和它在重量上差距在 $[-m,m]$ 之间，否则可以通过添加元素来减少这个差量

于是调整的物品数量是 $\Theta(m)$ 级别的，将背包上界卡到 $m^2$ ，选中的元素可以退下，价值 $-1$ ，重量是 $-w$，没选中的可以选中，价值重量为 $(1,w)$ 。二进制分组优化即可