CF Gym103415D Unnamed Easy Problem

Description

计算满足下列条件的 \([m\times n]0/1\) 矩阵的数量：

• 每行后 \(n-k\) 列至少有一个 \(1\)

• 每行互不相同

• \(1\sim p\) 列共有奇数个 \(1\)，\(k+1\sim k+q\) 列共有奇数个 \(1\)

• 行之间无序

\(1\le k<n\le 10^9,m\le 10^6\)

Solution

先不考虑最后一个限制，最后除以 \(m!\) 来无序化

奇偶性的限制可以使用烂大街的套路：最后一行来抵消前面行的奇偶性需求，前面的行任意选

那么需要处理此时不满足第一和第二条限制的问题，将不合法方案数减去

设 \(f_m\) 表示行数为 \(m\) 时的答案，\(g_m\) 表示行数为 \(m\) 且不一定满足限制 \(1\) 时的答案

前者转移可以用 \(\displaystyle\binom{2^n-2^k}{m-1}(m-1)!\) 减掉出现相同的情况数 \((m-1)(2^n-2^k-(n-2))f_{m-2}\) 再减掉不满足最后一行后 \(n-k\) 列至少有 \(1\) 个 \(1\) 的方案数

那么非常精彩地，现在最后一行的后 \(n-k\) 列没有任何 \(1\) 了，前 \(m-1\) 行的后 \(n-k\) 列奇偶性已经满足，所以这是 \(g_{m-1}\)

后者的转移由于不考虑前 \(k\) 列的合法性，所以总方案数要附加最后一行前 \(k\) 列乱选的 \(2^k\) 的系数，出现相同还是 \((m-1)(2^n-2^k-(n-2))g_{m-2}\)

不满足有 \(1\) 的部分也是符合 \(g_{m-1}\) 的定义，但是由于最后一行前 \(k\) 列可以乱选，那么也要附上 \(2^k\) 作为系数

时间复杂度 \(\Theta(m)\)

Code

const int N=1e6+10;
int f[N],g[N];
int n,m,k,oee,oez;
signed main(){
	n=read(); k=read(); m=read(); 
	oee=read(),oez=read();
	int s=ksm(2,k),tot=del(ksm(2,n),ksm(2,k));
	int fac=1,P=1;
	f[0]=!oez&&!oee;
	g[0]=(bool)!oez;
	f[1]=(bool)oez;
	g[1]=f[1]*s;
	for(int i=2;i<=m;++i){
		int cho=del(tot,i-2);
		ckmul(P,cho);
		ckmul(fac,i);
		f[i]=del(P,g[i-1]);
		ckdel(f[i],mul(i-1,mul(f[i-2],cho)));
		g[i]=mul(s,del(P,g[i-1]));
		ckdel(g[i],mul(i-1,mul(g[i-2],cho)));
	}
	print(mul(f[m],ksm(fac,mod-2)));
	return 0;
}