Codeforces1270I Xor on Figures

Description

有一个 \(2^k\times 2^k\) 的矩阵 \(A\)，行列从 \(0\) 开始标号，有两个长度为 \(t\) 的序列 \(x,y\)。

你需要通过若干次操作使得整个矩阵 \(A\) 全为 \(0\)。

一次操作需要三个参数 \((p,q,w)\)，会给所有 \(A[(x_i+p)\bmod 2^k][(y_i+q)\bmod 2^k]\) 异或上 \(w\)。

求最小的操作次数。

\(k\le 9,t\le 99\) 且 \(t\) 为奇数。

Solution

设矩阵 \(F\) 满足在所有 \((x_i,y_i)\) 处值为 \(1\) 而其它位置为 \(0\)

考察一下题目中给出的操作的形式和二维循环卷积是类似的，那么可以定义一种新的乘法：

\[F\times G=H\Leftrightarrow H_{i,j}=\oplus_{a,b}\oplus_{c,d} [a+b\equiv i \bmod 2^k][c+d\equiv j \bmod 2^k]F_{a,c}\times G_{b,d} \]

此时问题变成了找到一个矩阵 \(G\) 满足 \(F\times G=A\)，其中 \(A\) 是题目中给定的矩阵

观察到上面定义的 \(F\) 矩阵在进行乘方运算时在异或运算的配合下有非常好的性质：除了自乘之外所有乘法结果会被 \(\oplus\) 两次，也就是说 \(F^{2^i}\) 满足在且仅在 \(F[2^ix\% 2^{k}][2^iy\% 2^{k}]\) 处为 \(1\)

那么不难发现 \(F^{-1}=F^{2^k-1}\) ,暴力进行乘法即可

注意到 \(F^{2^i}\) 中只有 \(t\) 个元素有值，复杂度就是 \(\Theta(2^{2k}kt)\)

Code

const int N=512;
int k,n,m,a[N][N],f[2][N][N];
int x[N],y[N];
signed main(){
	k=read(); n=(1<<k);
	int cur=0;	
	for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<n;++j) f[cur][i][j]=read();
	m=read();
	rep(i,1,m) x[i]=read()-1,y[i]=read()-1;
	for(int e=0;e<k;++e){
		for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<n;++j) f[cur^1][i][j]=0;
		for(int t=1;t<=m;++t){
			for(int i=0;i<n;++i){
				for(int j=0;j<n;++j){
					f[cur^1][(i+x[t])&(n-1)][(j+y[t])&(n-1)]^=f[cur][i][j];
				}
			}
		}
		rep(i,1,m) x[i]=(x[i]*2)&(n-1),y[i]=(y[i]*2)&(n-1);
		cur^=1;
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<n;++j) if(f[cur][i][j]) ++ans;
	print(ans);
	return 0;
}