【学习笔记】集合幂级数ln,exp

这部分新了解的基础知识还是蛮多的，都简单记录一下防止忘记吧，由于代码都是抄式子，等比较勤快的时候再写

基础知识

$\Theta(n^2)$ 求 $n$ 次多项式 $\ln,\exp$

$$\begin{aligned}G(x)&=e^{F(x)}\\G'(x)&=F'(x)e^{F(x)}\\ G(x)&=\int F'(x)G(x) \rm{dx} \end{aligned}$$

如果已经求解了 $[x^0]G(x)\sim [x^{n-1}]G(x)$ 欲知 $[x^n]G(x)$ 可以比对系数

$$\begin{aligned}G(x)&=\ln \left(F(x)+1\right)\\ G'(x)&=\frac{F'(x)}{F(x)+1}\\ F(x)G(x)+G'(x)&=F'(x)\\ G(x)F(x)&=F'(x)-G'(x) \end{aligned}$$

仍然是类似的比对系数，加加减减乘逆元，根据平方求法也不难发现 $\ln$ 求解时要求 $f_0=1$

$n$ 次多项式 $k$ 次幂的 $\Theta(n^2k)$ 求法

$$\begin{aligned}G(x)&=F^k(x)\\G'(x)&=kF'(x)F^{k-1}(x)\\G'(x)&=kF'(x)\frac{F^{k}(x)}{F(x)}\\G'(x)F(x)&=kF'(x)G(x)\end{aligned}$$

如果 $G(x)$ 的前 $n$ 项已知之后想知道 $n+1$ 项，比较系数就可以发现两边同时取 $[x^{n+1}]$ 就可以得到了

这个做法在 $n\le \log nk$ 的时候有奇效

集合幂级数 $\ln,\exp$

写出来关于集合幂级数 $F(x)$ 的 $\ln(F(x)+1),e^{F(x)}$ 在 $x_0=0$ 处的 泰勒展开式：

$$\ln(F(x)+1)=\sum_{i\ge 1}\frac{(-1)^{i+1}F^i(x)}{i}$$

$$e^{F(x)}=\sum_{i\ge 0}\frac{F^i(x)}{i!}$$

使用组合意义来理解，注意将这里指数运算中乘法定义为子集卷积

将占位集合幂级数先使用 $\rm FMT$ 求出来点值，对于 $S\in U$ 的每个 $S$ 观察，此时 $\widehat{F}_S$ 是一个形式幂级数，求出其 $\ln/\exp$ 时候再做逆变换即可

有了这个就可以轻松解决 联通生成子图计数 问题

LOJ6729 点双联通生成子图计数

设点的标号是 $[0,n)$

指导性的思路就是求所有割点标号都 $\ge i$ 的集合幂级数，一开始得到联通的生成子图数量 $F_0$，最后的答案就是 $F_n$

尝试 $F_i\to F_{i+1}$，要更改的部分就是 $i$ 做为割点的部分

对于 $i\in S$ 的每个集合 $S$，先保留 $F_{\{S\}}\rightarrow F_{\{S\}/i}$ 表示根据定义中删掉 $i$ 剩下的部分割点 $\ge i$ 的方案数（也就是说这里保证了直接联通）

对于那些不一定能满足联通的部分，再将 $F_{S}$ 减掉 $F_{\{S\}/i}$ 之后做形式幂级数的 $\ln$ 即可

最后再做逆变换，全集对应的占位幂级数就是答案

LOJ6730 边双联通生成子图计数

边双连通生成子图可以理解为不存在大小为 $2$ 的点双连通分量的连通生成子图

那么算出点双连通生成子图的集合幂级数后去掉 $2$ 次项，然后倒着做一遍上面枚举每个点容斥的过程即可

这里需要把取 $\ln$ 变为做 $\exp$，因为要做的工作是把已经满足点双联通且大小大于 $2$ 的集合拼起来

可能理解得并不深刻，后续存在补坑可能

LOJ154 $k-\exp$ 问题

如果给定 $k$ 求 $\sum\limits_{i\ge 0}^k\frac{F^i(x)}{i!}$ 这个也是非常类似的，仍然求出来占位幂级数的 $\rm FMT$ 点值

对于每个位置上的形式幂级数，我们想要求 $G(x)=\sum\limits_{i\ge 0}^k\frac{F^i(x)}{i!}$

$$\begin{aligned}G(x)&=\sum\limits_{i\ge 1}^k\frac{F^i(x)}{i!}\\ G'(x)&=F'(x)\sum_{i\ge 0}^{k-1}\frac{F^i(x)}{i!}\\ G'(x)&=F'(x)(G(x)-\frac{F^k(x)}{k!}) \end{aligned}$$

由于 $k$ 固定，那么可以得到一个做法是先 $\ln,\exp$ 得到 $F^k(x)$ 再比对系数逐项递推