【2022-March】杂题乱写

CF1622F

设 $n=2k$，可以得到

$$\prod_{i=1}^n i!=\prod_{i=1}^k 2i\times\left((2i-1)!\right)^2$$

所以要考虑的本质上是 $2^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}(\lfloor\frac{n}2\rfloor)!$，直接判定这两者是不是完全平方数并哪项不是删掉即可

对于 $n=2k+1$ 的情况，最多也只会删掉 $n!,2!,(\lfloor\frac{n}2\rfloor)!$ 三项，那么先判定序列是不是能删掉 $0/1/2$ 项来做到合法，否则直接给出构造

考虑给每个质因子一个随机权值，那么合数的权值就是其所有出现次数为奇数的质因子权值异或和，判定是不是存在一个 $x!$ 的权值是 $n!$ 以及是不是存在一个 $x!$ 的权值是 $n!\ \oplus\ y!\ (y\in [1,n])$ 即可

设随机向量长度为 $B$ 时，一个不是完全平方数的数字被异或成了完全平方数的概率是 $\left(\frac{1}2\right)^B$，本质上是 $\sum\limits_{x\in\{even\}}\binom{n}x=\sum\limits_{x\in\{odd\}}\binom{n}x$，其中 $n$ 是某个数字中出现奇数次质因子的数量

在 $|S|=n-2$ 时 $\frac{n!}{y!}=x!$ 中 $(x,y)$ 有 $n^2$ 种，那么正确率就是 $\left(1-\frac{1}{2^B}\right)^{n^2}$，在 $B=64$ 而非 $32$ 时才可以得到较高正确率

Luogu4240

原式进行简单的和式变换就可以得到：

$$\sum_{i=1}^{\min(n,m)}\sum_{j|i} \mu\left(\frac{i}j\right)\frac{j}{\varphi(j)}F(i,\left\lfloor\frac{n}i\right\rfloor)F(i,\left\lfloor\frac{m}i\right\rfloor)$$

其中 $F(n,m)=\sum\limits_{i=1}^m\varphi(in)$

处理 $F(n,m)$ 能做到 $\Theta(Qn)$ 复杂度，但是其实 $i$ 比较大的时候要求的东西在每个询问中都是差不多的，所以预处理 $x\in[1,B],y\in[1,B]$ 的所有 $F(n,x),F(n,y)$ 的乘积并前缀和，每次询问对于 $i\le \left \lfloor\frac nB\right \rfloor$ 的部分暴力，剩下的整除分块即可

ARC104E

由于 $n$ 实在是太小了，枚举其全排列，对于 $p_i>p_{i+1}$ 那么限制是 $a_{p_i}\ge a_{p_{i+1}}$，否则严格大于

这时候每个位置的选值集合就是本身上界减去前面严格大于的数字，同时还要做后缀 $\min$

现在限制变成了大于等于，可以使用格路计数的容斥来做，设上界分别是 $a_1\sim a_n$，$f_i$ 表示走到了横坐标为 $i$ 的列的方案数（不限制纵坐标），转移就是枚举第一次超出界限的位置即可

显然要暴力算组合数，因为 $n$ 实在是太小了

CF718E

不难观察到图的直径不超过 $15$，预处理 $f_{i,c},g_{c_1,c_2}$ 分别表示 $i$ 到颜色 $c$ 最近的距离和颜色为 $c_1$ 某点到颜色为 $c_2$ 某点的最短路

不难发现一对 $(i,j)[i<j]$ 的最短路就是 $\min\limits_{c}\left\{f_{i,c}+f_{j,c}+1,j-i\right\}$

对于 $j-i\le 15$ 的情况，选择的中转颜色的点可能是同一个，再 $+1$ 可能产生错误，那么直接冲暴力

否则观察到 $f_{i,c}=g_{col_i,c}/g_{col_i,c}+1$

否则枚举 $j$ 考虑小于之并且距离之至少为 $16$ 的所有 $i$，使用二进制状压他们的 $f_{i,c}-g_{col_i,c}$，这些 $i$ 的另外一个属性是他们的颜色

对于两个属性都相同的 $i$ 到 $j$ 是相同的，计算即可

CF997E

扫描线，一个区间是好区间的条件是 $\max-\min-(r-l)=0$，使用两个单调栈分别维护最小/最大值，区间加增量即可

要求的是历史权值之和，使用一个全局加权值的操作实现

由于 $i$ 处是 $0$ 致使全局最小值也是 $0$，那么 “加权值” 的判定就是子区间最小值是大区间最小值

一开始并没有注意到加权值的判定条件，那么写了个暴力过掉了所有 Codeforces 数据，不得不震惊

Luogu7515

先给 $A_{i,j}$ 任意赋值使得和满足条件，但是不一定在限制的值域之内

定义一种操作 $\pm$ 表示给行/列上奇数点加 $1$，偶数点减一，另一种 $\mp$ 表示给奇数点减，偶数点加，通过上面的操作不会改变 $2\times 2$ 的正方形的权值和

设 $i$ 行上操作进行 $c_i$ 次，$j$ 列上 $d_j$ 次

我们给奇数行/偶数列做 $\mp$ ，偶数行/奇数列做 $\pm$，这样子满足了每个 $2\times 2$ 的小矩形都是和不变的

那么限制这时候变成了 $0\le A_{i,j}\pm c_i\mp d_j$ 的形式，使用 ckmax 式差分约束可以在 $\Theta(n^3)$ 复杂度里面实现

UOJ 数据很猛，所以还是要把正环长度缩小再跑（正环长度不超过 $50$ 就离谱）

Luogu7516

对于一个给定的图 $G$ 如果 $i$ 在正图和反图上都能经过不小于 $i$ 的点到达 $\ge i$ 的点 $j$，那么 $i$ 会对 $f(j,G)$ 造成贡献

使用 $\rm Floyd$ 来算上面的东西，边权变成了每条边现在的标号，目的就是最大化 $\rm arg\min$

注意根据实际含义是要倒序枚举中转点的，这时候 $f_{i,j}(i<j)$ 是正图可达，$f(j,i)$ 是反图可达

Luogu7520

定义点 $x$ 在有向图上的受支配集为题目说的点集去掉 $x$，一个点在支配树上的父亲是它受支配集中受支配集最大的一个

不难先暴力算受支配集，再使用拓扑排序状物来求支配树

每个点的受支配集变化有 其支配树上父亲受支配集变化 和 存在绕过父亲到达之的路径 两种形式

注意不存在一个点满足 “在原图的受支配集里面所有点的受支配集不变的情况下，产生了路径满足经过父亲但是绕过受支配集中其它一个点到达之”（证明是容易的）

那么只需要对每个点判定是不是产生了绕过 $fa_x$ 的路径即可

求出来 $acc_1[x][y]$ 表示 $x$ 禁止经过后 $y$ 是不是从 $1$ 可达以及 $acc_2[x][y]$ 表示 $fa_x$ 禁止经过后 $y$ 是不是从 $x$ 可达即可