CF Gym102978D Find the LCA

Description

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_i\)，对于所有 \((n-1)!\) 个满足 \(i\in [1,n]fa_i<i\) 的树，求

\[\sum_{\rm Tree} \prod_{x\in \rm subTree(LCA(n,n-1)} A_x \]

\[n\le 250000 \]

Solution

先对于每个 \(k\in [1,n]\) 计算一个大小为 \(k\) 的树，有多少树的形态使得树里面标号最大的两个点的 LCA 是树根

先考察一个单独的 \(k\)，容斥如果两个点选在了一个子树的情况，对于一个大小为 \(siz\) 的子树会有 \(siz^2\) 个方案

暴力的想法就是枚举在所有形态中大小为 \(i\) 的子树出现了多少次，乘上自己形态数量，其它点的选择方案和选择标号的方案 从总方案中减去即可，结果表达为：

\[(k-2)^2(k-3)!-\sum_{l=1}^{k-3}\binom{k-3}{i}(i-1)!(k-3-i)! \]

后面的求和可以卷积处理，所以可以做到线对预处理 \(\Theta(1)\) 查询

原来是这样子，那么场上很多人过就能解释了

给出结论：在 \(k\ge 3\) 时上面表达式的值为 \(\frac{(k-1)!}2\)，证明考虑在合法方案和不合法方案中构造双射

我的构造是将一棵不合法的树重定根为 \(k\)，这样子原来 LCA(k,k-1) 现在是 LCA(1,k-1)，将这个 LCA 和其 \(k-1\) 向子树砍下来接到 \(1\) 那里，如果 LCA 是 \(k-1\) 就只把这个点砍下来

看起来是题解的逆过程不过问题不大，那么至此表达式如下

\[\begin{aligned}Ans&=a_na_{n-1}\left[(n-2)!+\frac{(n-1)!}2\prod_{i=1}^{n-2}a_i+\sum_{i=3}^{n-1}(n-i-1)!\frac{(i-1)!}2[x^{i-2}] \sum_{i=2}^{n-2}F_i\right]\\ F_i&=(i-1)a_ix\prod_{j=i+1}^{n-2}(1+a_jx) \end{aligned}\]

\(F_i(x)\) 前缀的 \(i-1\) 表示这个点作为子树根的时候它还得连接上 \([1,i-1]\) 的点，最后简记求解中的分治 \(\rm NTT\) 的过程：

分治过程维护两个多项式 \(F_{l,r},G_{l,r}\) 分别表示 \(a_ix\) 只乘 \(j\in[l,r]\) 中的 \(1+a_jx\) 的乘积的和 以及区间 \(1+a_ix\) 的乘积，最后的答案就是 \(F_{2,n}\)

合并区间时 \(F_{l,r}\leftarrow F_{mid+1,r}+F_{l,mid}\times G_{mid+1,r}\)，\(G_{l,r} \to G_{l,mid}\times G_{mid+1}r\)

感觉可能受制于分治乘法的套路式了，这个是稍加思考就能得到的

Code

inline pair<poly,poly> solve(int l,int r){
    if(r<l) return {{0},{0}};
    if(l==r){
        poly F={0,mul(l-1,a[l])},G={1,a[l]};
        return make_pair(F,G);
    } int mid=(l+r)>>1;
    pair<poly,poly>ls=solve(l,mid),rs=solve(mid+1,r);
    return make_pair(Plus(Mul(ls.fir,rs.sec),rs.fir),Mul(ls.sec,rs.sec));
}
signed main(){
    fac[0]=1; rep(i,1,250000) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    n=read(); rep(i,1,n) a[i]=read();
    int ans=fac[n-2],Mult=1;
    rep(i,1,n-2) ckmul(Mult,a[i]);
    ckadd(ans,mul(Mult,mul(inv2,fac[n-1])));
    poly F=solve(2,n-2).fir;
    for(int i=3;i<n;++i){
        int val=mul(inv2,mul(fac[i-1],fac[n-i-1]));
        ckadd(ans,mul(F[i-2],val));
    }
    print(mul(mul(a[n],a[n-1]),ans));
    return 0;
}