【考试总结】2022-01-03

young

推广 $m\le 4$ 的部分分发现求最小生成树的过程就是从高到低考察每一位，对于点权在这位为 $0$ 的点会被连成一个连通块而点权为 $0$ 的点连成一个连通块，最后使用一条边将这两个连通块连起来，同时连接的两个点是两个连通块里面 $\rm xor$ 值最小的一对

设 $f(n,m)$ 表示 $n$ 个点，每个点点权在 $[0,2^m)$ 的生成树的边权和，那么执行上面的叙述进行计数：枚举这位点权是 $0$ 的集合大小 $s$，另 $t=n-s$ 即第 $m$ 位点权为 $1$ 的集合大小

此时最小生成树边权和被拆成了 两个点集内部 和 两个点集之间 的两个部分，点集内部的求解便是一个子问题，会给 $f(n,m)$ 贡献 $f(t,m-1)\times 2^{(m-1)\times s}+f(s,m-1)\times 2^{(m-1)\times t}$

待解决的问题是两个集合之间的边权和，设 $g(s,t,m)$ 表示两个大小为 $s,t$ 集合，权值为 $[0,2^m)$ 的集合间连边权值和

使用经典转化：$n=\sum_{i=1}^n[n\ge i]$ 也就是说；另外计算 $p(s,t,m,k)$ 表示同上述含义的局面中最终最小边的权值 $\ge k$ 的 方案数

统计的方式和 $f$ 类似，枚举 $s$ 中在第 $m$ 位为 $0/1$ 的点数 $s_{0/1}$，$t$ 中第 $m$ 位为 $0/1$ 的点数 $t_{0/1}$

当 $k$ 的第 $m$ 位为 $1$ 时要求不能让 $s_0,t_0$ 或者 $s_1,t_1$ 同时出现，这等价于直接求 $p(s,t,m-1,k-2^{m-1})$ 这个子问题，由于 $s_0,t_1$ 和 $s_1,t_0$ 也是等价的，所以甚至可以直接乘 $2$ 记为 $p(s,t,m,k)$

$k$ 的第 $m$ 位为 $0$ 时就要实打实的枚举大小了，这里与 $f$ 求解处不同的是要求 $s_0,t_0$ 及 $s_1,t_1$ 之间每个点的连边都要 $\ge k$ 所以要递归两侧，分别是 $p(s_0,t_0,m-1,k),g(s_1,t_1,m-1,k)$

注意 $f,p$ 求解的时候显然需要乘组合数，边界除了 $p$ 中是 $m=0$ 判断 $k$ 为 $0$ 和一个为 $0$ 了剩下随便选 之外都是点集大小/位数不够了返回 $0$

代码中的变量含义和叙述中的保持一致。同时为了不超过 80 符被 D 线，刻意增加了行数

Code Display

int pw[5010],n,m;
int f[52][10],g[52][52][10],p[52][52][10][70],C[110][110];
inline int P(int s,int t,int m,int k){
    if(s>t) swap(s,t);
    if(m==0) return k==0;
    if(s==0) return pw[m*t];
    if(~p[s][t][m][k]) return p[s][t][m][k]; p[s][t][m][k]=0;
    if(k>>(m-1)&1){
        p[s][t][m][k]=mul(2,P(s,t,m-1,k^(1<<(m-1))));
        return p[s][t][m][k];
    }    
    rep(i,0,s) rep(j,0,t){
        if(j==t&&i==0) continue;
        if(i==s&&j==0) continue;
        int addi=mul(C[s][i],C[t][j]);
        ckadd(p[s][t][m][k],mul(addi,mul(P(i,j,m-1,k),P(s-i,t-j,m-1,k))));
    }
    ckadd(p[s][t][m][k],pw[(s+t)*(m-1)+1]); // s==0 && t==0 
    return p[s][t][m][k];
}
inline int G(int s,int t,int m){
    if(s>t) swap(s,t);
    if(!s||!m) return 0;
    if(~g[s][t][m]) return g[s][t][m]; g[s][t][m]=0;
    for(int i=1;i<(1<<m);++i) ckadd(g[s][t][m],P(s,t,m,i));
    return g[s][t][m];
}
inline int F(int n,int m){
    if((n<=1)||!m) return 0; 
    if(~f[n][m]) return f[n][m];
    f[n][m]=0;
    for(int s=0;s<=n;++s){
        int v1=mul(F(s,m-1),pw[(n-s)*(m-1)]); // S self
        int v2=mul(pw[s*(m-1)],F(n-s,m-1)); // T self
        int v3=G(s,n-s,m-1);
        int v4=(s==0||s==n)?0:pw[(n+1)*(m-1)]; // between
        ckadd(f[n][m],mul(C[n][s],(v1+v2+v3+v4)%mod));
    }
    return f[n][m];
}
signed main(){
    pw[0]=1; for(int i=1;i<=5000;++i) pw[i]=add(pw[i-1],pw[i-1]);
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=100;++i){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
    }
    memset(f,-1,sizeof(f));
    memset(g,-1,sizeof(g));
    memset(p,-1,sizeof(p));
    n=read(); m=read(); 
    print(mul(ksm(pw[n*m],mod-2),F(n,m)));
    return 0;
}

simple

对于一个长度为 $n$ 的非周期串 $S$（即不存在 $T$，$|T|<|S|$ 且 $\rm len(T)\ |\ len(S)$，$T$ 是 $S$ 的周期），其所有循环移位的最小者会被计入答案，也就是说任意一个长度为 $len$ 非周期串对 $f(len)$ 的贡献为 $\frac 1{len}$

其实这就是最朴素的 $\rm Lyndon\ Word$ 的结论，赛时没有推出的原因是一直在给 $n\le 10^4$ 的档编 $\rm DP$，甚至编了不少于两个小时也没能编出

关于计算非周期串可以使用最平凡的莫比乌斯反演，即设 $F(n)$ 表示长度为 $n$ 的串的个数，$G(n)$ 表示长度为 $n$ 的非周期串的个数

$$F(n)=\sum_{d|n}G(d)\Leftrightarrow G(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac nd)F(d)$$

将推导带回答案并推导，写出表达式如下：

$$\begin{aligned}Ans&=\sum_{i=1}^ni^2\times \frac 1i\times G(i)\\ &=\sum_{i=1}^ni\sum_{d|i}\mu(\frac id)10^d\\ &=\sum_{d=1}^n d10^d\sum_{j=0}^{\lfloor\frac ni \rfloor}j\times\mu(j)\\ \end{aligned}$$

最后一步使用了精彩的 $i=j\times d$，那么后面部分的求解是杜教筛模板，其中 $f=\mu\times id,g=id,h=\epsilon$

前面一部分是等差乘等比数列求和的计算，是一个历史遗留问题，我今天花了 $30s$ 推导了一下得到了非常简洁的形式：

$$\begin{aligned}S&=\sum_{i=0}^n i 10^i\\ 10S&=\sum_{i=1}^{n+1}(i-1)\times 10^i\\ -9S&=-n10^{n+1}+\sum_{i=1}^n 10^i\\ S&=\frac{n10^{n+1}-\frac{10^{n+1}-1}{9}}{9} \end{aligned}$$

这就能做了，只需要会写快速幂！非常简单是不是！

Code Display

const int N=1e7+10,inv2=ksm(2,mod-2);
int pre[N],n,ans,pri[N],mu[N],cnt;
map<int,int> mp;
bool fl[N];
inline int S(int n){
    if(n<=1e7) return pre[n];
    if(mp.count(n)) return mp[n];
    int res=1;
    for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        res-=(r-l+1)%mod*((l+r)%mod)%mod*inv2%mod*S(n/l)%mod;
    }
    return mp[n]=(res%mod+mod)%mod;
}
const int inv9=ksm(9,mod-2);
inline int F(int n){
    int kk=ksm(10,n+1);
    int r1=mul(n%mod,kk),r2=mul(del(kk,1),inv9);
    return mul(del(r1,r2),inv9);
}
signed main(){
    n=1e7; mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!fl[i]) mu[i]=-1,pri[++cnt]=i;
        for(int j=1;i*pri[j]<=n&&j<=cnt;++j){
            fl[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }else{
                mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        pre[i]=i*mu[i]+pre[i-1];
        pre[i]=(pre[i]%mod+mod)%mod;
    }
    n=read();
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        ans+=mul(del(F(r),F(l-1)),S(n/l));
    }
    print(ans%mod);
    return 0;
}

meet

使用最基础的 $\rm exLucas$ 即可解决，那么写这么长长的一篇博客就是来写一份 $\rm exLucas$ 学习笔记的！

记录 $\rm Lucas$ 定理的证明吧

对于一个质数 $p$ 和 $\le p$ 的 $n$， $\binom pn\mod p$ 不为 $0$ 当且仅当 $n=p$ 或者 $n=0$

这时可以发现

$$\begin{aligned}(ax+bx)^p&\equiv b^px^p+a^px^p&\mod p \\ &\equiv bx^p+ax^p&\mod p\\ \end{aligned}$$

那么考察 $\binom nm=[x^m](1+x)^n$ 并展开 $(1+x)^n$ 得到：

$$\begin{aligned}(1+x)^n&\equiv(1+x)^{p\lfloor \frac{n}p\rfloor}(1+x)^{n\bmod p}&\mod p\\ &\equiv(1+x^p)^{\lfloor \frac{n}p\rfloor}(1+x)^{n\bmod p}&\mod p \end{aligned}$$

发现前半部分在 $x^{pi}$ 处有值，后半部分只在 $x^{k}(k\in [0,p)$ 处有值，那么直接变成两个子问题，写作

$$\binom{\lfloor\frac{n}p\rfloor}{\lfloor\frac{m}p\rfloor}\binom{n\bmod p}{m\bmod p}$$

根据唯一分解定理，问题变成了求解 $\binom nm\mod p^k$ 且 $k$ 不一定为 $1$，剩下的使用朴素 $\rm CRT$ 合并即可

将 $\binom nm$ 展开，并提出 $n,m,(n-m)$ 的阶乘中 $p$ 的指数（逐个除就是 $\Theta(\log)$ 的），剩下的也可以求逆元了

剩余的项中包含且限于：$\lfloor\frac{n}{p^k} \rfloor$ 个 $[1,p^k]$ 中所有不是 $p$ 的倍数的数的乘积，$[1,n\bmod p^k]$ 中不是 $p$ 的倍数的乘积 和 $\frac{n}{p}$ 的阶乘留下递归

做完了！

Code Display

int n,Mod,x,y;
const int N=1e6+10;
map<int,int> fac;
map<int,vector<int> >ee;
inline int calc(int n,int pi,int pk){
	if(n<=1) return 1;
	return ksm(fac[pk],n/pk,pk)*ee[pk][n%pk]%pk*calc(n/pi,pi,pk)%pk;
}
inline void prepare(int pi,int pk){
    if(n>=pk){
        int res=1;
        for(int i=2;i<pk;++i) if(i%pi) ckmul(res,i,pk);
        fac[pk]=res;
    }
    vector<int> ii; ii.resize(min(n+1,pk));
    ii[0]=ii[1]=1;
    int up=ii.size();
    for(int i=2;i<up;++i){
        if(i%pi) ii[i]=ii[i-1]*i%pk;
        else ii[i]=ii[i-1];
    }
    ee[pk]=ii;
    return ;
}
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b) return x=1,y=0,void();
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return ;
}
inline int getinv(int n,int pk){
	int x,y; exgcd(n,pk,x,y);
	x=(x%pk+pk)%pk;
	return x;
}
inline int C(int n,int m,int pi,int pk){
	int up=calc(n,pi,pk),k=0;
	int d1=calc(m,pi,pk),d2=calc(n-m,pi,pk);
	for(int i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
	for(int i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
	for(int i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
	return up*getinv(d1,pk)%pk*getinv(d2,pk)%pk*ksm(pi,k,pk)%pk;
}
inline int CRT(int b,int mod){
	return (b*getinv(Mod/mod,mod)%Mod*(Mod/mod))%Mod;
}
int pi[N],pk[N],num;
inline int exLucas(int n,int m){
    int res=0;
	rep(i,1,num){
		res+=CRT(C(n,m,pi[i],pk[i]),pk[i]); 
		res%=Mod;
	}
	return res;
}//sigma a_i M_i t_i
signed main(){
    n=read(); Mod=read(); x=abs(read()),y=abs(read());
    int tmp=Mod;
	for(int i=2;i*i<=tmp;++i) if(tmp%i==0){
	    pk[++num]=1; pi[num]=i;
		while(tmp%i==0) pk[num]*=i,tmp/=i;
		prepare(pi[num],pk[num]);
	}
	if(tmp>1) pi[++num]=tmp,pk[num]=tmp,prepare(tmp,tmp);
    int ans=0;
    for(int lef=0;lef<=n;++lef){
        int rig=lef+x,sy=n-lef*2-x;
        if(((y+sy)&1)||y>sy) continue;
        int up=(y+sy)/2,down=sy-up;
        ckadd(ans,mul(exLucas(n,up),mul(exLucas(n-up,down),exLucas(n-sy,lef),Mod),Mod),Mod);
    }
    print(ans);
	return 0;
}