【学习笔记】导数性质证明
定义常量 \(e\) 有
\[e=\lim_{n\to +\infty} (1+\frac1n)^n
\]
这个定义在如下导函数性质证明中发挥巨大威力：
\[f(x)=\log_ax,f'(x)=\frac{1}{x\ln a}
\]
\[f(x)=a^x ,f'(x)=x^a\ln a
\]
具体推导均可以使用定义式进行，即
\[f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta\ x}
\]
中间都会遇到
\[\lim_{\Delta x\to 0}\log_a(1+\frac{\Delta x}x )^\frac{x}{\Delta x}
\]
而该式就是 \(e\) 的定义式
范式推导：
\[f(x)=\ln(x),f'(x)=\frac 1x
\]
证明：先带入导数定义式观察
\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}
\]
\[=\lim_{\Delta x\to 0} \frac 1{\Delta x}\ln (1+\frac{\Delta x}x)
\]
\[=\lim_{\Delta x\to 0} \ln [(1+\frac{\Delta x}x)^{\frac x{\Delta x}}]^{\frac1{x}}
\]
\[=\frac 1x\lim_{\Delta x\to 0} \ln e=\frac 1x
\]
下有导函数的另一个性质：
\[\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\times \Delta x
\]
也就是说 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数是其在 \(x_0\) 处的斜率
这条性质在证明
\[[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
\]
\[[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
\]
\[[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]
时会发挥巨大作用，而具体的和式变换是相对平凡的
