【学习笔记】导数性质证明

定义常量 $e$ 有

$$e=\lim_{n\to +\infty} (1+\frac1n)^n$$

这个定义在如下导函数性质证明中发挥巨大威力：

$$f(x)=\log_ax,f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$$

$$f(x)=a^x ,f'(x)=x^a\ln a$$

具体推导均可以使用定义式进行，即

$$f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta\ x}$$

中间都会遇到

$$\lim_{\Delta x\to 0}\log_a(1+\frac{\Delta x}x )^\frac{x}{\Delta x}$$

而该式就是 $e$ 的定义式

范式推导：

$$f(x)=\ln(x),f'(x)=\frac 1x$$

证明：先带入导数定义式观察

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}$$

$$=\lim_{\Delta x\to 0} \frac 1{\Delta x}\ln (1+\frac{\Delta x}x)$$

$$=\lim_{\Delta x\to 0} \ln [(1+\frac{\Delta x}x)^{\frac x{\Delta x}}]^{\frac1{x}}$$

$$=\frac 1x\lim_{\Delta x\to 0} \ln e=\frac 1x$$

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下有导函数的另一个性质：

$$\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\times \Delta x$$

也就是说 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数是其在 $x_0$ 处的斜率

这条性质在证明

$$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$$

$$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

$$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

时会发挥巨大作用，而具体的和式变换是相对平凡的