「学习笔记」Hall定理

Descripition

设一张二分图两部点数为 $(x,y),x<y$，则其的一个完备匹配定义为 左部 $x$ 个点成为匹配点

特别地，当 $x=y$ 时，这类匹配也被称为完备匹配

一个如上定义的二分图存在 完备匹配 的充要条件是对于左部点的大小为 $k$ 的任意子集 $S$，这些点在右部连到的点集（也被称为 $S$ 的邻域，记为 $N(S)$）大小不小于 $k$

Proof

首先证明必要性，如果一个点集的 $N(S)$ 不足 $|S|$，那么该集合并不能找到一个完备匹配，与定义相反

其次是充分性，考虑使用归纳的手段，这部分分两种情况：

• 如果存在一个严格子集 $S$ 满足 $S=N(S)$，则子集本身存在完备匹配

  如果删去 $S,N(S)$ 后出现不满足条件的集合 $T$，那么在原二分图中取子集 $S\cup T$，必然有 $|N(S\cup T)|<|S\cup T|$，与题设矛盾

  那么由此证明如果存在 $|S|=|N(S)|$，$\rm{Hall}$ 定理成立

• 如果所有子集的 $|N(S)|$ 均大于 $|S|$，那么找到一个点 $u$ 并找到 $(u,v)\in E$，删掉 $u,v\in V,(u,* ), (* ,v)\in E$

  不难发现此时剩下的二分图每个子集 $S$ 都能满足 $|N(S)|\ge |S|$，而且因为删掉了一个点，问题是原问题的子问题

  根据归纳假设，$\rm{Hall}$ 定理在此情况下也成立

---

例题

CF1519F

对于所有子集 $S$，均需满足下式：

$$\displaystyle{\sum_{i\in S}a_i\le\sum_{j\in(\cup_{i\in S}L_i )}b_j}$$

那么把每个箱子和锁拆成 $a_i,b_i$ 个点，每个箱子上每个点向每个锁的每个点连边

设箱子对应的点为左部点，若满足其有完美匹配，则上式成立

那么状压 $DP$ 可以很好的解决这个问题：设 $\rm{dp(i,S)}$ 表示考虑了前 $i$ 个箱子后，右部点 每个锁剩下的点数为 $S$

这里 $S$ 使用五进制表示，实现每次暴力编码解码即可

转移考虑枚举当前箱子拆出来的点匹配右边的哪种点，匹配几个，注意产生匹配就要付出代价，但是只用付出一次

用 $\rm{dfs}$ 实现转移是容易的

合法状态并不能让复杂度达到 $\Theta(n\times 5^{2n})$ 的上界，但是朴素 $\rm{dfs}$ 过了？？

ARC076F

本题需要 $\rm{Hall}$ 定理的一个推论：一个任意二分图 $(V,E)$ 的最大匹配为 $|V|-\max\limits_{S\in V}\{|S|-|N(S)|\}$

该推论可能可以通过增广路和匈牙利算法理解

问题即求解 $\max\limits_{S\in V}\{|S|-N(S)\}$

发现对于一个特定的点集 $x$，其结果就是 $|S|-\max\limits_{i\in S} L_i-(m+1-\min\limits_{i\in S} R_i)$

使用数据结构维护扫描线容易完成