「学习笔记」单位根反演

单位根反演

$$[n|k]\Leftrightarrow \frac1n\sum_{i=0}^{n-1} \omega^{ik}_ n$$

（千万记得乘 $\frac{1}n$）

如果 $[n|k]$ 那么都是 $1$

反之则用等比数列得到 $\frac1n \frac{\omega_{n}^{nk}-1}{\omega_{n}^k-1}=0$

用处是求某个多项式的特定倍数的系数和，也就是：

$$\sum_{i=0}^{\lfloor\frac nk\rfloor} [x^{ik}]f(x)=\frac1k \sum_{j=0}^{k-1}f(\omega_{k}^j)$$

把枚举上界换掉，大力展开之后就行了

应用

bzoj3328 PYXFIB

求

$$\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\binom{n}{ik}F_{ik} \% mod$$

满足 $mod \equiv 1 \mod k$，$F_{ik}$ 为斐波那契数列第 $ik$ 项

• 关键结论：$\sum_{i=0}^{n}\binom ni A^i=(A+I)^n$，$I$ 是单位矩阵

  其实也就是矩阵意义下的二项式定理，因为矩阵乘法和加法可以合并进行

那么把原始展开得到的式子合并完了如下：

$$\sum_{i=0}^n[k|i]{n\choose i}f_i=\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{ji} =\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i(\omega_k^j)^i$$

后面的部分把 $\omega_{k}^j$ 和矩阵做数乘就行了

复杂度 $\Theta(Tk+8k\log n)$

需要预处理原根

Loj 6485 LJJ学二项式定理

把几个独立下来之后，考虑 $a_0$ 的部分，则有

$$\sum_{i=0} ^n \binom ni[4|i] s^i a0$$

那么换掉式子就是

$$\frac 14\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^3 \binom ni s^i w_{j}^i$$

二项式定理合并即可，对于剩下的几个，被模数就是 $i+k$ 其实照样推就行了

代码很好写

UOJ450 复读机

本题也是在某种意义上 $EGF$ 第一题

• $\rm{Subtask \ 1}:d=1$

直接输出 $k^n$ 即可

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以下两个部分均需注意，$\rm{EGF}$ 的卷积最后乘 $n!$ 才是正确答案

• $\rm{Subtask \ 2}:d=2$

把脑残式子一写：诶这怎么是 $EGF$ 卷起来的形式呀？

$$G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} [2|i] \frac{x^i}{i!}$$

答案即 $G^k(x)[x^n]$

问题似乎陷入了死节，但是使用 $e^x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty} \frac{x^i}{i!}$ 变换一下：

$$\frac{ans}{n!}=[x^n]G^k(x)=[x^n](\frac{e^x+e^{-x}}2)^k$$

使用 $e^{kx}=\sum\limits_{i=0}^{+\infty} \frac{(kx)^i}{i!}$ 大力展开所有的取出 $x^n$ 的系数，得到：

$$\frac{ans}{n!}=\frac1{2^k}\sum_{i=0}^k \binom ki \frac{(2i-k)^n}{n!}$$

使用 $O(k)$ 的算法可以快速解决这个问题

• $\rm{Subtask\ 3}:d=3,k\le 1000$

仍然使用 $G(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty} [3|i]\frac{x^i}{i!}$ 的 $k$ 次方的系数来计算答案

这时候很悲惨，莫得 $e^{x}+e^{-x}$ 了，但是出现了可以拿单位根反演化开的东西，继续推到不难得到：

$$G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}\frac 13 \sum_{j=0}^2 \omega_{3}^{ij}$$

（其实 $-1=\omega_2^1$ ）

把 $\frac{1}3$ 提出来，把 $(\omega_3^j)^i$ 和外面合并之后仍然可以使用 $e^{kx}$ 的式子简化 $G(x)$ 的表达

$$G(x)=\frac 13\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(\omega_{3}^0x)^i+(\omega_{3}^1x)^i+(\omega_{3}^2x)^i}{i!}=\frac 13(e^{\omega_3^0+\omega_3^1+\omega_3^2})$$

这样子再进行 $k$ 次方操作就会舒适许多，仍然是二项式定理配合组合意义展开

$$G^k(x)=\sum_{i=0}^k\binom ki (e^{\omega_{3}^0})^{k-i}\sum_{j=0}^i \binom ij (e^{\omega_{3}^1})^j(e^{\omega_{3}^2})^{i-j}$$

那么把 $e$ 的次幂堆到一起展开（不放到一起就没法做了）得到

$$\frac{ans}{n!}=\frac{1}{n!3^k}\sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^i \binom ki\binom ij (k-i+\omega_{3}^2(i-j)+\omega_{3}^1j)^n$$

使用原根 $g=7$ 的 $\frac{mod-1}3$ 来表示单位根

$\Theta(k^2)$ 的做法就足够了，代码实现是简单的