【学习笔记】Dilworth 定理

Dilworth定理

定义偏序集合 $(x,\le)$ 这里的 $\le$ 不代表 “小于等于”，而是一种关系

定义 “可比” 表示 $x$ 中的两个元素满足 $a\le b$ 或者 $b\le a$，反之就是不可比

偏序集合中的元素满足如下三点

• $a\le a$

• $b\le a,a\le c\Rightarrow b\le c$

• $a\le b,b\le a\Rightarrow a=b$

定义一个链为链中相邻的元素可比，同时不难发现任意元素可比，同时定义反链表示任意元素不可比

定义极小元 $x$ 表示在当前的偏序集所有的可以和其相比的元素 $y$ 中，都满足 $x\le y$

由上得到一个定理：

• 设 $\{S\}$ 的最长链长度为 $r$，那么最小反链划分等于 $r$

证明如下：设 $p$ 为最小反链划分

首先考虑如果可以划分出来比 $r$ 更小的反链个数，那么必然有两个最大链中的元素属于同一个反链

不符合条件，那么 $p\ge r$

另一个部分考虑证明 $p\le r$ 不断取出来 $\{S\}$ 中的极小元集合，设一共取出了 $k$ 次，那么那么不难发现必然有一个长度为 $k$ 的链

考虑有 $p$ 为最小反链划分，每次取出来的最小元集合必然内部不可比，所以是一个反链划分，所以有 $r\ge k\ge p$

对偶上述定理，得到 $\rm{Dilworth}$ 定理

• 设 $\{S\}$ 的最长反链长度大小为 $r$，那么集合中最少可以划分出来 $r$ 个链

第一部分改变定义之后完全一样，第二部分不是极小元，而是每个极小元所在的联通块

例题

CTSC2008 祭祀

先跑 $\rm{Floyd}$ 传递闭包和最大独立集过第一问

有一种最大独立集的构造方式是：

• 从右侧没有匹配的点开始 $dfs$，向左侧只能走非匹配边，左侧向右侧只能走匹配边

• 取左侧被访问的点和右侧没有被访问的点得到最大独立集

• 取最大独立集的补集得到最小点覆盖

对应到这个题目中就是对于 $in$ 被访问而 $out$ 没有被访问的点（注意 $out$ 是左部点）

证明：

设 $\{C\}$ 表示最小点覆盖的集合，$\{I\}$ 表示最大独立集的集合，$mat$ 表示最大匹配数，$\{S\}$

$|I|=2n-|C|=2n-mat,|I|-|C|=$ 表示有一些点只有 $in/out$ 在 $\{S\}$ 中

这样的点不超过 $n$ 个那么 $|I|\ge n-mat$，而 $|I|$ 一定不会大于 $n-mat$，也就是二分图的正确性

证毕

Codeforces590E

不难发现如果求出来了字符串两两之间的子母串关系，那么这个问题就转化成了上面的问题

子母串是 $AC$ 自动机的管理范畴（所以又重学了 $AC$ 自动机）

这里每次暴力沿着 $fail$ 树往上面跳复杂度就成 $\Theta(n\sum)$ 的，那么不难想到维护当前和最长子串然后跑 $Floyd$ 传递闭包

首先维护 $AC$ 自动机上每个点的前驱，这个在 $insert$ 的时候不难做

并维护每个点不断跳 $fail$ 能得到最近有标记结尾的点，在并查集中放到同一个集合里面

处理 $1\dots n$ 所有的串，每次沿着结尾点不断跳上文定义的父亲，并且连上这个点和这个点跑 $fail$ 的并查集得到的点

最后跑个祭祀就完事了