【考试总结】2021-03-28

A. 矩阵

考虑枚举一个矩形表示斜率，同时钦定这个矩形的两个端点必须选

不难发现这个矩形对角线上的点的个数是 $gcd\texttt{(长,宽)}$

这个结论的证明考虑 $y=\frac{h}w x$ 在 $x\in [1,w]$ 中有几个点满足 $y\in\{Interger\}$

上下消掉 $gcd(h.w)$ 之后在 $[1,w]$ 里面有 $w/\frac{w}{gcd}$ 个数是它的倍数

$$ans=2\sum_d\binom{d-1}{k-2}\sum_{n}^{\lfloor\frac{N}d\rfloor}(N-nd)\sum_{gcd(n,m)=1}^{\lfloor\frac{M}d\rfloor}(M-md)+\texttt{点在一个直线上的方案}$$

提出来 $\mu$，然后发现有两个乘积就行了

$$ans=2\sum_d\sum_{p|d}\mu (\frac{d}p) \binom{p-1}{k-2}\sum_{n}^{\lfloor\frac Nd\rfloor}(N-nd)\sum_m^{\lfloor\frac{M}d\rfloor}(M-md) +\texttt{点在一个直线上的方案}$$

B.覆盖

把区间按照右端点排序，从前往后扫，如果当前区间没有点，那么在右端点放一个

如是解决第一问，按照放点的位置，把这个段割成 $n$ 个小段，每个段里面必然会有一个点

转移：相邻的两个点夹的一段区间，这段里面有一些询问的终点，在区间 $mid$ 左侧的由上一个管，剩下的下一个管

具体就是 $f[i]=\min\{f[j]\}+val(i,j)$，同时得到这个 $val(i,j)$ 满足决策四边形不等式

那么使用分治实现决策单调性的 $dp$

具体而言，已知当前 $dp[i][l\to r]$ 的决策点 $\in [L,R]$，找到其 $mid=\frac{l+r}2$ 的决策点然后两边递归即可

C.强壮

将原题中的限制修改为 $\texttt{in or out}$，也就是相离或者包含

这个可以使用线段树或者单调栈进行简单处理，剩下的部分设 $dp_{i,j}$ 表示处理到第 $i$ 个点，这个点的有长度为 $j$ 的右侧链

转移考虑枚举相邻的限制，合并右链长度，注意每次转移的时候先做一次当前的后缀和

$dfs$ 实现 $dp$ 就行了