「学习笔记」Lagrange插值
Lagrange 插值
有 Lagrange 公式:
如果给定了点值直接逆做就行了
貌似和 IDFT 有类似的地方,但是也显然是不一样的(点值的位置是不同的,FFT 利用了单位根的性质)
好像可以快速插值然后单点求值
时间复杂度 O(n2)
前后缀优化 Lagrange 插值
如果点值连续,可以预处理要求的 f(k) 的 ∏k−i
那么求一个 ∏k−xixi−xj 就可以阶乘逆元做了
这个是最常见的做法,貌似下面的例题均用此做法来进行了时间复杂度的优化
重心 Lagrange 插值
推一下式子考虑增量即可
应用是自然数幂前缀和,因为伯努利数原理,那么用第二个插值方法就行了
例题
「JLOI2016」 成绩比较
先钦定哪些人比他高,最后给答案乘 \binom {n-1}k
考虑名次的限制,这里会计漏或者重复,那么容斥,也就是
最后是分数的部分,列式展开发现需要对自然数求幂和,插值即可
「集训队互测2012」calc
朴素的 dp 是 trivial 的:f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times j+f_{i-1,j}
假设 f_{i,j} 为 g(i) 次多项式,正向可以证明 g(i)=2i
所以求出来一些点值之后插 k 处的就行了
也可以使用生成函数科技:
考虑答案显然为 \prod_{i=1}^k (1+ix)
按照套路,乘法取 \ln 转加法
得到的式子为:
换换顺序得到 Tyler 展开的式子,同时还可以等比数列求和,那么需要几次 exp 就好了
「Codeforces 995F」Cowmpany Cowmpensation
树上的上面一题,值得指出的是,这个多项式是 n 次的
貌似没有生成函数做法
「NOI2019」机器人
本题并不属于简单题
考虑一个非常 trivial 的 dp:设 f_{i,j,k} 表示 [i,j] 的最大值为 k 的时候的答案,那么答案为 f_{1,n,mx}
转移考虑找区间里面满足 |(x-i)-(x-j)|\le 2 的 x
其实不难观察得到 x\in \{mid,mid+1,mid-1\}(分区间长度讨论即可)
所以发现这个 f_{l,r} 的状态大概在 kn\log n 左右,跑一个记忆化搜索发现是 2000 到 3000
因为是插值找的这题目,所以考虑 f_{l,r,k} 会不会是关于 k 的多项式,按套路,可能是 r-l+2 次的
考虑对于 l=r ,不为 0 的 k 是常数,那么按照原来 dp 式子的转移做两边乘法,所以次数增加
(以上证明显然并不严谨,具体证明留坑待填)
所以考虑按照值域分段来进行 dp 的转移,对于当前值域 [v[i],v[i+1]-1] 可以仅取区间长度个点值来转移,然后就可以插出来 dp_{l,r,v[i+1]-1}
以上思考是 trivial 的,具体实现的时候,dp 暴力进行即可,使用记忆化搜索,每次清空 n+2 位
以上做法是相对好写(好猜)但是速度非常之慢,本地跑极限数据要 6s 左右(但是交上去卡了好久过了),根据赛时反馈也确实只能拿 95 分
貌似 \texttt{mayaohua2003} 的游记里面提到了一个下降幂的做法,因为我完全不熟悉下降幂的科技,所以等学习了之后再补
不可否认,这目前是(估计也将会是)这篇博客里面最高明的题目
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