「学习笔记」FWT及集合幂级数入门
FWT
相比与 \(\rm NTT/FFT\) 中的加法卷积，这里支持了位运算卷积，原理基于集合幂级数研究
vfk 的论文阅读没有任何门槛，所以就不抄一遍了
Code Display
inline void And(int *f,int lim,int opt){
for(int p=2;p<=lim;p<<=1){
int len=p>>1; for(int k=0;k<lim;k+=p){
for(int l=k;l<k+len;++l){
if(opt==1) f[l]=add(f[l],f[l+len]);
else f[l]=del(f[l],f[l+len]);
}
}
}return ;
}
inline void Or(int *f,int lim,int opt){
for(int p=2;p<=lim;p<<=1){
int len=p>>1; for(int k=0;k<lim;k+=p){
for(int l=k;l<k+len;++l){
if(opt==1) f[l+len]=add(f[l+len],f[l]);
else f[l+len]=del(f[l+len],f[l]);
}
}
}return ;
}
inline void Xor(int *f,int lim,int opt){
for(int p=2;p<=lim;p<<=1){
int len=p>>1; for(int k=0;k<lim;k+=p){
for(int l=k;l<k+len;++l){
f[l]=add(f[l],f[l+len]);
f[l+len]=del(f[l],add(f[l+len],f[l+len]));
if(opt==-1){
f[l]=mul(f[l],i2);
f[l+len]=mul(i2,f[l+len]);
}
}
}
}return ;
}
子集卷积
这个和普通的 \(\rm FWT\) 的不同之处是中间要对集合的大小相加
那么进行 \(\rm FWT\) 之后中间对位数做加法卷积再 \(\rm IFWT\) 即可
Code Display
struct node{
int a[25];
void operator+=(const node &p){
for(int i=0;i<=n;++i) a[i]=add(a[i],p.a[i]);
return ;
}
void operator-=(const node &p){
for(int i=0;i<=n;++i) a[i]=del(a[i],p.a[i]);
return ;
}
node operator*(const node &p)const{
node ans; for(int i=0;i<25;++i) ans.a[i]=0;
for(int i=0;i<=n;++i)
for(int j=0;i+j<=n;++j)
ans.a[i+j]=add(ans.a[i+j],mul(a[i],p.a[j]));
return ans;
}
}F[N],G[N];
inline void FWT(node *f,int lim,int opt){
for(int p=2;p<=lim;p<<=1){
int len=p>>1;
for(int k=0;k<lim;k+=p)
for(int l=k;l<k+len;++l)
if(opt==1) f[len+l]+=f[l];
else f[l+len]-=f[l];
} return ;
}
signed main(){
n=read(); int lim=(1<<n);
for(int i=1;i<lim;++i) bit[i]=bit[i>>1]+(i&1);
for(int i=0;i<lim;++i) F[i].a[bit[i]]=read();
for(int i=0;i<lim;++i) G[i].a[bit[i]]=read();
FWT(F,lim,1); FWT(G,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i) F[i]=F[i]*G[i]; FWT(F,lim,-1);
for(int i=0;i<lim;++i) printf("%lld ",F[i].a[bit[i]]); puts("");
return 0;
}
集合幂级数
将形式幂级数中的 \(x\) 换成了 \(n\) 维 \(0/1\) 向量 \(\rm x\) ，具体建议阅读 2015 年 vfk 的论文
根据 FWT/FMT 的原理该运算支持除法操作，只要系数没有 \(0\) 且存在逆元即可，同时 FWT 本身也需要在满足运算存在对 2 逆元的局面下进行
而当不存在逆元的特殊情况可以看看 AGC034F 的做法，博主不清楚是不是有扩展性
求解 \(\ln,\exp\) 的手段比较抽象，先像子集卷积把元素分类，之后做 \(\rm FMT\)
接下来变成了若干形式幂级数所以直接求，最后 \(\rm IFMT\) 回去
因为不懂怎么分开 \(\rm FMT\) 所以就鸽掉了
例题
THUPC2019 找树
其实 FWT 本质就是个求点值，转插值
先把题目转化为是判定每个 \(i\) 是否存在方案的计数问题，生成树问题启发我们使用矩阵树定理，位运算对应 \(FWT\)
那么对于每个加入的边，我们在 \(v\) 为第三维的数组中构造基尔霍夫矩阵，然后对每个 \((x,y)\) 为第一第二维的数组做 \(\rm FWT\)（因为边可能有重的）
考虑 \(DWT\) 就是把多项式转成点值，这里值得注意的是每个位上的运算就对应使用 \(\rm And/Or-FMT\) 或者 \(\rm Xor-FWT\)
再反过来对每个权值求行列式的值，最后 \(\rm IFWT\) 回去得到存在性
其实就是求点值和做插值
复杂度 \(\Theta(n^3 2^w)\)，代码不难写
实现细节：行列式求值的时候模个大点的质数，因为我们只关心存在性
这题启发我们 \(\rm FWT\) 也可以转化成点插值来理解，对于不同的运算，转成点值了也就有了独立性
同时 \(\rm FWT\) 完全可以理解成多个生成函数的卷积，这样其实也可以推得模板的正确性
SNOI2017 遗失的答案
分解 \(L,G\) 质因数和次幂
一个合法的方案必然满足每个数次幂的 \(\min=G_p\)，最大的一个次幂是 \(L_p\)
观察到这个质因子个数很少，那么两位式状压：第一位表示是不是满足下界，第二位表示上界
这个状压很不套路，做前缀、后缀各一次 \(dp\) 得到信息
那么每个 \(L\) 的因数对其前后缀的信息做 \(\rm And-FWT\) 取全集得到答案
实现的时候最后的每个因子要乘 \(gcd\)
Codeforces449D
题目本质是做一个背包然后求 \(f[0]\)
这个式子是个 \(And\) 卷积，只会 \(\rm FWT\)，当然可以得到一个每次暴力卷的做法，但是复杂度很大
考虑这种 \(dp\) 的本质是某个物品如果有 \(i\) 个的话那么这个点的超集就会翻番（这和 \(FWT\) 的意思是一样的）
那么可以整体统计数之后 \(\rm FWT\) 一次即可，在 \(\rm IFWT\) 之前把每个 \(A[i]\) 替换成 \(2^{A_i}\)
思考本质就能发现这个并不需要每次快速幂
统计答案记得减掉空集的情况，同时 \(\rm FWT\) 的模数应为 \(1e9+6\)
uoj310 黎明前的巧克力
朴素的 \(dp\) 式子为 \(f[i][j]=f[i-1][j]+2\times f[i-1][j\oplus a_i]\)，使用 \(\rm FWT\) 优化
但不一样的是这个题目中的系数变成了 \(-1/3\)
那么对于 \(FWT\) 出来的数组，解一元一次方程得到 \(-1\) 的个数 \(k\) 和 \(3\) 的个数 \(n-k\)（也就是必然会产生贡献）
那么用次幂替换掉之后 \(\rm IFWT\) 即可
HAOI2015 按位或
需要 \(Min-Max\) 容斥的科技：
同时可以反过来写：
证明主要考虑分 \(|T|\) 的奇偶性把多余的都消掉剩下 \(T=\{\max(S)\}\)
这题主要是考虑了应用到期望上的式子
最终求的就是 \(E(U)\) 那么现在没有的就是 \(E(\min(T))\)
用封闭形式等等大力推推式子，得到 \(E(\min(T))=\frac{1}{1-Sum(E(U\oplus T))}\)
剩下的就是子集和，\(\rm FWT\) 即可
PKUWC2018 随机游走
首先 \(\min-\max\) 容斥转化为求集合最小值
这部分推导确实是新做法：设成两者相关的一次函数
即求到了 \(S\) 集合中的点的最小步数，把父亲的提出来，设 \(f[t]=k_t\times f[x]+b_t\)
推出来式子为 \(k_x=\frac1{d_x-sumk_x},b_x=\frac{d_x+sumb_x}{d_x-sumk_x}\)，均与父亲节点的信息无关
那么对于每种取值集合都 \(dfs\) 一下得到 \(b[rt]\)
接下来就是 \(\rm FWT\) 求子集和了
更多集合幂级数的题目参考 https://www.cnblogs.com/lhm-/p/14287558.html
