「学习笔记」 杜教筛

Description

求积性函数前缀和的有力工具，形式化地，对于积性函数 \(f(x)\)，求

\[\sum\limits_{i=1}^n f(i) \]

这里设两个函数 \(g,h\)，其中 \(h=f * g\)（狄利克雷卷积）,以及 \(S(n)=\sum\limits_{i=1}^n f(i)\)

\[\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n \sum_{j|i} f(j)\times g(\frac i j) \]

考察每个 \(g(i)\) 对 \(\rm LHS\) 的贡献有：

\[\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n g(i) S(\lfloor\frac n i\rfloor) \]

提出来第一项就得到了 \(g(1)S(n)\)，直接得到下式：

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n h(i) -\sum _ {i=2}^n g(i) S(\lfloor\frac n i\rfloor) \]

可以整除分块并递归，可以先预处理 \(10^6\) 项，但是主要问题是函数 \(f,g\) 的选择

最基础的是 $\mu * I=\epsilon,\varphi * I=id,(\varphi\times id) * id=id^2 $

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复杂度证明

考虑所有递归中出现的 \(n\) 进行求和，大体看做所有 \(\lfloor \frac ni \rfloor\)，而每次递归一个 \(n\) 耗费的复杂度是 \(\sqrt n\)，那么复杂度写作下式：

\[T(n)=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\sqrt{\lfloor\frac ni\rfloor}+\sqrt i \]

加号后的一项总和明显小于加号前的一项的总和，加号前的一项总量为

\[\sum_{i=1}^{\sqrt n}\sqrt{\lfloor\frac ni\rfloor}=\int _1^{\sqrt n} \frac{\sqrt n}{\sqrt x}\ dx=\sqrt n \sqrt{\sqrt n} \]

定积分求解即先提出定量 \(\sqrt n\)，求出不定积分上下界的 \(1,(\sqrt n)^{-\frac12+1}\) 再作差

直接做复杂度就是 \(\Theta(n^{\frac 34})\)，尝试预处理 \(n^{1-t}\) 的函数前缀和，扩大递归终止条件的范围，这时候缩小积分上界至 \(n^t\) 结果是 \(n^{2t}\)，中和一下预处理 \(n^{\frac 13}\) 时复杂度达到了 \(\Theta(n^{\frac 23})\)

个人认为在多数 \(n=10^9\) 的题目中由于记忆化的 std::map 有 \(\log\) 复杂度所以多预处理一些总归是没错的

另外这里的证明方式是考虑的递归总量，那么具体问题中如果涉及了外层套整除分块内次求积性函数区间和，使用杜教筛总复杂度不变

例题

BZOJ3512

考虑对每个 \(\le N\) 的每个 \(n\) 计算 \(\sum\limits_{i=1}^m \varphi(ni)\)，尝试展开 \(\varphi(ni)\)

不难根据 \(\varphi\) 函数的定义式，我们只关注每个质数的第一次出现，所以设 \(q\) 为 \(n\) 所有质因子的单次乘积

\[\sum_{i=1}^m\varphi(ni)=\frac nq\sum _{i=1}^m \varphi(i)\varphi(\frac{q}{gcd(i,q)})gcd(i,q) \]

考虑使用 \(\varphi * I = id\) 改写 \(gcd(i,q)\):

\[\frac nq\sum_{i=1}^m \varphi(i)\varphi(\frac q{gcd(i,q)})\sum\limits_{d|q,d|i}\varphi(d) \]

将后两项合并，使用欧拉函数的积性：

\[\frac nq \sum_{i=1}^m \varphi(i)\sum_{d|i,d|q}\varphi(\frac{gcd(i,q)}d) \varphi(\frac q{gcd(i,q)}) \]

\[\frac nq \sum_{i=1}^m \varphi(i)\sum_{d|i,d|q}\varphi(\frac{q}d) \]

\[\frac nq \sum_{d|q} \varphi(\frac qd)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\varphi(id) \]

发现了 \(S(d,\lfloor\frac md\rfloor)\) 所以可以递归了，记得边界和记忆化，可能的复杂度上界是 \(\Theta(n\sqrt m)\)