「学习笔记」 杜教筛

Description

求积性函数前缀和的有力工具，形式化地，对于积性函数 $f(x)$，求

$$\sum\limits_{i=1}^n f(i)$$

这里设两个函数 $g,h$，其中 $h=f * g$（狄利克雷卷积）,以及 $S(n)=\sum\limits_{i=1}^n f(i)$

$$\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n \sum_{j|i} f(j)\times g(\frac i j)$$

考察每个 $g(i)$ 对 $\rm LHS$ 的贡献有：

$$\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n g(i) S(\lfloor\frac n i\rfloor)$$

提出来第一项就得到了 $g(1)S(n)$，直接得到下式：

$$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n h(i) -\sum _ {i=2}^n g(i) S(\lfloor\frac n i\rfloor)$$

可以整除分块并递归，可以先预处理 $10^6$ 项，但是主要问题是函数 $f,g$ 的选择

最基础的是 $\mu * I=\epsilon,\varphi * I=id,(\varphi\times id) * id=id^2$

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复杂度证明

考虑所有递归中出现的 $n$ 进行求和，大体看做所有 $\lfloor \frac ni \rfloor$，而每次递归一个 $n$ 耗费的复杂度是 $\sqrt n$，那么复杂度写作下式：

$$T(n)=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\sqrt{\lfloor\frac ni\rfloor}+\sqrt i$$

加号后的一项总和明显小于加号前的一项的总和，加号前的一项总量为

$$\sum_{i=1}^{\sqrt n}\sqrt{\lfloor\frac ni\rfloor}=\int _1^{\sqrt n} \frac{\sqrt n}{\sqrt x}\ dx=\sqrt n \sqrt{\sqrt n}$$

定积分求解即先提出定量 $\sqrt n$，求出不定积分上下界的 $1,(\sqrt n)^{-\frac12+1}$ 再作差

直接做复杂度就是 $\Theta(n^{\frac 34})$，尝试预处理 $n^{1-t}$ 的函数前缀和，扩大递归终止条件的范围，这时候缩小积分上界至 $n^t$ 结果是 $n^{2t}$，中和一下预处理 $n^{\frac 13}$ 时复杂度达到了 $\Theta(n^{\frac 23})$

个人认为在多数 $n=10^9$ 的题目中由于记忆化的 std::map 有 $\log$ 复杂度所以多预处理一些总归是没错的

另外这里的证明方式是考虑的递归总量，那么具体问题中如果涉及了外层套整除分块内次求积性函数区间和，使用杜教筛总复杂度不变

例题

BZOJ3512

考虑对每个 $\le N$ 的每个 $n$ 计算 $\sum\limits_{i=1}^m \varphi(ni)$，尝试展开 $\varphi(ni)$

不难根据 $\varphi$ 函数的定义式，我们只关注每个质数的第一次出现，所以设 $q$ 为 $n$ 所有质因子的单次乘积

$$\sum_{i=1}^m\varphi(ni)=\frac nq\sum _{i=1}^m \varphi(i)\varphi(\frac{q}{gcd(i,q)})gcd(i,q)$$

考虑使用 $\varphi * I = id$ 改写 $gcd(i,q)$:

$$\frac nq\sum_{i=1}^m \varphi(i)\varphi(\frac q{gcd(i,q)})\sum\limits_{d|q,d|i}\varphi(d)$$

将后两项合并，使用欧拉函数的积性：

$$\frac nq \sum_{i=1}^m \varphi(i)\sum_{d|i,d|q}\varphi(\frac{gcd(i,q)}d) \varphi(\frac q{gcd(i,q)})$$

$$\frac nq \sum_{i=1}^m \varphi(i)\sum_{d|i,d|q}\varphi(\frac{q}d)$$

$$\frac nq \sum_{d|q} \varphi(\frac qd)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\varphi(id)$$

发现了 $S(d,\lfloor\frac md\rfloor)$ 所以可以递归了，记得边界和记忆化，可能的复杂度上界是 $\Theta(n\sqrt m)$