SDOI2012 任务安排

这题首先要转化一下这里对于 $s$ 的统计

我们先把 $s$ 做后缀贡献

然后就有了这个式子：

f_{i} = {min}_{j = 1}^{i - 1} f_{j} + (s 1_{i} - s 1_{j}) \times s 2_{i} + s \times (s 1_{n} - s 1_{j})

$f_i=\min_{j=1}^{i-1} f_j+ (s1_i-s1_j)\times s2_i+s\times(s1_n-s1_j)$

其中

s 1_{i} = \sum_{j = 1}^{i - 1} c_{j} s 2_{i} = \sum_{j = 1}^{i - 1} t_{j}

$s1_i=\sum_{j=1}^{i-1} c_j\ \ \ \ \ s2_i=\sum_{j=1}^{i-1} t_j$

然后我们推式子：

最后是个：

$x<y$ 且

\frac{(f_{x} - s \times s 1_{x}) - (f_{y} - s \times s 1_{y})}{s 1_{x} - s 1_{y}} < s 2_{i}

$\frac{(f_x-s\times s1_x)-(f_y-s\times s1_y)}{s1_x-s1_y}<s2_i$

右侧是个单调增的，所以是个下凸壳

然后就没了

如果我们不保证 $t_i$ 单调呢？

我们照样维护一个下凸壳

然后每次在这里面找决策点的时候二分一下

具体见代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar();
 		return res*f;
	}
	const int N=3e5+10;
	int t[N],c[N],n,s,f[N],q[N],he,ta;
	inline double X(int p){return c[p];}
	inline double Y(int p){return f[p]-s*c[p];}
	inline double slope(int x,int y){ return (Y(y)-Y(x))/(X(y)-X(x)); }
	inline int work(double val)
	{
		int l=he,r=ta-1,ans=-1;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(Y(q[mid])-Y(q[mid+1])<val*(X(q[mid])-X(q[mid+1]))) ans=mid,r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		if(ans==-1) return q[ta];
		else return q[ans];
	}
	signed main()
	{
		n=read(); s=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) t[i]=read()+t[i-1],c[i]=read()+c[i-1]; 
		for(int i=1;i<=n;++i) 
		{
			int tmp=work(t[i]); 
			f[i]=f[tmp]+t[i]*(c[i]-c[tmp])+s*(c[n]-c[tmp]);
			while(he<ta&&(Y(q[ta-1])-Y(q[ta]))*(X(q[ta])-X(i))>=(Y(q[ta])-Y(i))*(X(q[ta-1])-X(q[ta]))) ta--;
			q[++ta]=i; 
		} 
		printf("%lld\n",f[n]);
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}