HNOI2011 卡农

讲个笑话：我的做法是 $O(n\log \ n)$ 的

Description

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有对于一个给定的集合 $S=1...n$ ，选取其中 $m$ 个子集要求子集非空，不能相同，并且每个出现过的元素出现次数是偶数

$n,m \le 10^6$

Solution

这个题要求组合的方案，先转化一步：求排列的方案然后除以阶乘

状态： $f_i$ 为取 $i$ 个集合的方案

之后发现一个性质：我们确定前 $i-1$ 个集合，最后一个就被自然确定了

（补全原来没有拿成偶数的元素即可）

这样我们发现取 $m$ 个集合的方案是： $A_{2^{n-1}}^{i-1}$

这样我们发现可能不太对

$1.$ 最后一个集合是空集，即原来取的方案已经满足所有的元素出现的个数为偶数

解决方案：直接 $f[i]-=f[i-1];$

$2.$ 最后一个集合和原来的集合是重复的

最后一个集合可能和原来的 $i-1$ 个的重复，此时我们拿出那两个重复的集合，还剩余 $i-2$ 个

取 $i-2$ 的方案是有 $f_{i-2}$ 个

重复的集合的可能有 $sum(2^n-1)-exist(i-2)$ 括号里的是真值

理解就是总的个数和最后剩下没有重复的个数

重复集合的位置有 $i-1$ 种（有序计数）

预处理阶乘逆元和排列数即可

讲述前面的那个笑话：考虑到我闲的就把 $2^n$ 求了 $n$ 次

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar();
		return res*f;
	}
	const int N=1e6+10,mod=1e8+7;
	int inv,p,f[N],n,m,a[N];
	inline int ksm(int x,int y)
	{
		int res=1; for(;y;y>>=1,(x*=x)%=mod) if(y&1) (res*=x)%=mod;
		return res;
	}
	int num;
	signed main()
	{
		n=read(); m=read(); inv=1;
		for(int i=1;i<=m;++i) inv*=i,inv%=mod; inv=ksm(inv,mod-2);
		a[0]=1; for(int i=1;i<=m;++i) a[i]=a[i-1]*((ksm(2,n)-i+mod)%mod)%mod;
		f[0]=1;
		for(int i=2;i<=m;++i)
		{
			f[i]=(a[i-1]-f[i-1]+mod)%mod; 
			f[i]-=f[i-2]*(i-1)%mod*((ksm(2,n)-1-(i-2)+mod)%mod)%mod;
			(f[i]+=mod)%=mod;
		}
		cout<<f[m]*inv%mod<<endl;
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}