【学习笔记】线段树优化建图等优化建图手段

$\Theta(n^2)$ 建图是不合法的时候就要用一些优化建图的手段

线段树优化建图

在有些数据范围内是不允许我们把图上的所有边建出来的

那么以编号为下标建线段树，线段树上的每个节点的 $l$ 和 $r$ 就是把 $l\rightarrow r$ 中的所有点缩到一个点表示

把每个原图节点拆成一个入点，一个出点，分别用两个线段树维护

我们在入点从上往下建边权为 $0$ 的边，表示到了表示区间的点肯定可以到子区间；出点从下往上建 $0$ 边，含义类似

入点线段树的每个点向出点线段树的对应位置的点建 $0$ 边，从这里进必然可以出

区间连边就建立一个虚拟点，把出区间拆成 $\log$ 份，连向虚拟点，边权为为 $0/w$ 即可

后续进行最短路/网络流/2-sat就依题而定了

大概代码如下，听说被喷描述和代码不符了但是我也不知道咋改

Code Display

int ls[N<<2],rs[N<<2],rt1,rt2,tot,L,R;
inline void build1(int &p,int l,int r){
	if(l==r){p=l; return ;} p=++tot; int mid=(l+r)>>1;
	build1(ls[p],l,mid); build1(rs[p],mid+1,r); add(p,ls[p],0); add(p,rs[p],0);
	return ;
}
inline void build2(int &p,int l,int r){
	if(l==r){p=l; return ;} p=++tot; int mid=(l+r)>>1;
	build2(ls[p],l,mid); build2(rs[p],mid+1,r); add(ls[p],p,0); add(rs[p],p,0);
	return ;
}
inline void update(int p,int l,int r,int u,int w,int type){
	if(L<=l&&r<=R){
		type==2? add(u,p,w):add(p,u,w);
		return ;
	}int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid) update(ls[p],l,mid,u,w,type); 
	if(R>mid) update(rs[p],mid+1,r,u,w,type);
	return ;
}

[SNOI2017]炸弹

首先可以处理出来每个点的控制范围，然后我们连边（点向区间）

注意这里是有向边，所以是父亲到儿子连

然后我们发现可以 $tarjan$ 出来强连通的炸弹

依题意：我们缩点跑完之后接着 $dfs$ ，求出来每个炸弹爆炸后影响的最左端和最右端的点

最后求答案即可

前后缀优化建图

处理完全图连边的有效工具，模板题是 Codeforces587D

题目中涉及的建图是完全图连边，没连的边只有自己向自己，那么对于每个 $1\sim n$ 的前缀建立虚点 $s_i$ ，拆开的另一个点的后缀点是 $s'_i$

那么题目中剩下的连边可以表示为

$1.i\to s_i,s'_i\to i'$

$2.s_i\to s_{i+1},s’_i)\to s'_{i-1}$

$3.s_i \to (i+1)',i\to s'_{i+1}$

这是对于选出来的边是匹配的限制的建边方式，每种颜色剩下的是一个匹配的方案就是把这些边反过来

写的时候注意的是先把所有的第一种和第二种边建出来，然后每次只用加上第一种边就好了

Code Display

inline void build1(vector<int> now){
    int S1=-1,S2=-1;
    for(auto t:now){
        int s1=++tot,s2=++tot;
        vec[t].push_back(s1); vec[s2].push_back(t+m);
        if(~S1){
            vec[S1].push_back(s1),vec[s2].push_back(S2);
            vec[S1].push_back(t+m); vec[t].push_back(S2);
        }
        S1=s1,S2=s2;
    } return;
}
inline void build2(vector<int> now){
    int S1=-1,S2=-1;
    for(auto t:now){
        int s1=++tot,s2=++tot; 
        vec[s1].push_back(t)); vec[t+m].push_back(s2);
        if(~S1){
            vec[s1].push_back(S1); vec[S2].push_back(s2);
            vec[t+m].push_back(S1); vec[S2].push_back(t);
        } 
        S1=s1; S2=s2;
    } return ;
}