【学习笔记】prufer 序列

内容

在一张图上有 $n$ 个节点，可以产生的生成树个数为 $n^{n-2}$

证明

一一对应法。

设$n$个点为：$1,2,... n$.

假设 $T$ 是其中一棵树，树叶中有标号最小的，设为 $a_1$ ， $a_1$ 的临界点为$b_1$

从图中消去 $a_1$ 点和边 $(a_1,b_1)$ ，$b_1$ 点便成为消去后余下的树 $T_1$ 的叶子节点。

在树 $T_1$ 中继续寻找标号最小的树叶，设为 $a_2$，$a_2$ 的邻接点为 $b_2$，从 $T_1$ 中消去 $a_2$ 及边 $(a2,b2)$。

如此步骤共执行 $n-2$ 次，直到最后只剩下一条边为止.于是一棵树对应一序列 $b$

$b_1,b_2,⋯,b_{n-2}$ 是 $1$ 到 $n$ 的数，并且允许重复。

反过来从 $b$ 可以恢复树 $T$ 本身，过程：在序列 $a$ 中找出第一个不出现在序列 $b$ 中的数

这个数显然便是 $a_1$，同时形成的边 $(a_1,b_1)$，并从 $a$ 中消去 $a_1$ ,从 $b$ 中消去$b_1$

在余下的序列中继续以上的步骤 $n-3$ 次，直到序列 $b$ 为空集为止。这时序列(1)剩下的两个数$a_ k,b_k$，边$(a_k,b_k)$是树 $T$ 的最后一条边。

上面的过程说明过 $n$ 个已知标号的顶点的树和序列 ${b_{1 \rightarrow n-2}}$ 一一对应，所以 $n$ 个有标号（相当于互异）的顶点的树的数目，为 $n^{n-2}$ 个.

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一个点在 $purfer$ 序列中出现的次数，为其在无根树中的出度的个数 $-1$

这样我们可以把树的计数转化到序列计数

例题

构树

对该问题的解决有非常明显的刻画：$\rm{dp}_ {x,y,z}$ 表示 $x$ 点为根的子树里面有 $y$ 个边被选择保留，根节点所在的联通块大小为 $z$ 的对答案的贡献

这个 $\rm{DP}$ 配合 $prufer$ 序列就可以完成转移：

$m$ 个大小为 $\{a_1\dots a_m\}$ 个联通块所形成的树的数量是 $\prod \limits_ {i=1}^ma_i(\sum a_i)^{m-2}$

上面结论有个简单的证明：考察在一个树的构成方案，每条边的形成方案是连接的两个联通块大小的乘积

那么所有边的贡献相乘则结果为 $\prod_{i=1}^m siz_i^{deg_i}$

关注到 $prufer$ 序列中每个点的出现次数是度数减一，求和之余还要再补充一份

那么将 $\sum a_i=n$ 分散到每个联通块上面统计，树形 $\rm{DP}$ 的过程中出现 $(x,t)$ 的边被断掉那么就乘 $n$ 转移

具体形式相对容易，注意减去已经 $ban$ 掉的边在序列里面的贡献，也就是在断开之后边 $(x,t)$ 后 分别包含 $(x),(t)$ 两个联通块连起来的方案要减一

进一步优化考虑观察最后一维必要性，考虑从一堆有标号点里面选一个的方案数是堆的大小，那么 $dp_{x,y,0/1}$ 表示是不是选过点了，转移和上面类似

复杂度和树上背包一致，为 $\Theta(n^2)$

指数做法给了非常多分数让暴力选手体验也非常良好