【学习笔记】 2-SAT问题

Description

$2-SAT$问题就是给定一串变量，每个变量只能为真或假。

要求对这些变量进行赋值，满足方程所代表的限制条件，$\rm 2-sat$ 问题中的限制是只与两个变量有关的，形如 $x_1 || x_2 $,$x_1 && (!x_2)$

如果这个条件变成三或者三以上个$x$相关的了，就只能$2^n$枚举了，即 $N-SAT$ 问题是 $NP$ 完全

Solution

首先将每个点拆成两个表示其为真或者为假，这里使用 $i$ 表示这个点真点，$i'$ 表示假点

问题中的图上的每条边 $(u,v)$ 表示如果 $u$ 所代表的情况发生了，$v$ 所代表的情况也要发生，举例而言即形如 $x || y$ 的限制 则连 $(x',y),(y',x)$ 即如果 $x$ 假了则 $y$ 必须真

而题目中的限制也常可以表示成或而不是与的形式，建图时另外一个需要注意的点就是连接表示逆否命题的边

之后 $tarjan$ 求强连通分量，如果有 scc[i]==scc[i+n] 则无解，原因是同一个强连通分量里面的点表示一个情况的并集，一个点的真假性是唯一的

对于求解 bool 方程每个变量的解，结论是 x_i=[scc[i]<scc[i+n]]

如果 $x_i$ 可以到达 $x'_i$ 但是反向不行，那么只能选择 $x'_i$，也就是其所在的强连通分量在拓扑序上排名较后的一个

这时候可以踩在巨人 $\rm tarjan$ 的肩膀上：使用 $\rm scc$ 序是拓扑序的逆序这一结论得到答案

例题

NEERC2016 Binary Code

前后缀优化建图+ $2-sat$ 模板题，在 这篇博客 中已经有写到

JSOI2019 精准预测

（其实写这篇博客就是为了写这题题解）

将每个火星人在每个时间存在与否建立 $2\times n(T+1)$ 个点，根据实际含义，每个人本身在 $i$ 时刻存活则在 $i-1$ 时刻存活，在 $i$ 时刻死亡则在 $i+1$ 时刻死亡

再根据实际含义，对于操作一，如果 $y$ 在 $i+1$ 存活则 $x$ 在 $i$ 存活，也要连逆否命题

对于操作二，$y$ 在 $i$ 时刻存活则对应 $x$ 在 $i$ 时刻死亡，也不要忘记连逆否命题

乍一看这点数很合理，已经降到 $4m+2n$ 了，但是还能再少：真的有必要在 $i/i+1$ 时刻给 $y$ 建两个点吗？

其实并不需要，站到统计答案的角度看，我们只关注在 $T+1$ 时刻的生死，具体是什么时候死的不重要

只存每个点作为 $x$ 时刻的生死点和 $T+1$ 时刻的生死点，作为 $y$ 时可以 lower_bound 下一个作为 $x$ 的时候

最后是统计答案，不能同生的是自己生的后继中它人死，和那些自己生的后继中有自己死的点，注意去重

这明显是一个 $DAG$ 上可达点统计问题，使用 bitset 优化可以做到 $\Theta(\frac {nm}{\omega})$