题解：P9646【SNCPC2019】Paper-cutting
【SNCPC2019】Paper-cutting【保姆级】
前置题目
分析问题
时间复杂度
\(O(T n m)\)
简化题目
给定一个 01 矩阵，上下左右尽量对折，最终剩下的区块计算有多少个 0 的连通块（只允许“上下左右”连通）。
Think-1 折
本题的所提到的“对折”的本质其实就是 回文字符串 的一半部分被对折。
因此，诸位想到的“第一步”一定是将矩阵从“上下左右”疯狂对折，没错，你是正确的！
Solve-1
如果你完成了【模版】manacher，那你应该知道有一个概念叫做 回文半径。
这里我们用 \(p_i\) 来表示：位置的最大回文半径，就是以 \(i\) 位置为中心，向左右对称扩展，最多能扩展几格。
模版题中的样例只有一行，而我们这里是一个 矩形，是有多行的字符串！
这时，我们引入一个新的概念数组：\(min_p[i]\)。
\(min_p[i]\) 表示：第 \(i\) 列的最大公共回文半径。
求解这个数组时，请不要开二维数组，一是空间，二是时间，因此，我们可以在每次进入 Manacher 函数时，将定义为 全局变量 每次都取 min 就可以啦。
Partial Code
const int N = 1e6 + 10;
int min_p[N*2], min_pt[N*2];//因为 上下 左右 均翻折，故设置两个！！！
void manacher(string s, int min_p[]){
//... Part Of Mnancher
for(int i = 0; i <= 2*len; i++)
min_p[i] = min(min_p[i], p[i]);
/*
memset(mncs, '\0', sizeof(char) * (len*2+1));
memset(p, 0, sizeof(int) * (len*2+1));
--清空操作
这里我放到了主函数，请注意！
*/
}
有了它，你便可以，你便可以愉快地进行翻折的操作！
先上代码！
//从右往左翻
lr = csl-1;// csl 表示右边界
for(int i = csl-1; i >= 0; i--){
if(i+min_p[i] >= lr && i % 2 == 0 /* 保证折的位置是'#',因为折不可以折数字！ */) lr = i;
} lr--;//让它变成数字位置
关键：
只要 \(i\) 所在位置的回文半径 超过 了上一次折的边界，那么，这个位置也就是“折”的位置，记得进行“上下左右”四次！
又因为 \(min_p\) 数组是建立在 Manacher 算法中创建的加了 # 的字符串数组下进行，所以 \(i \equiv 0 \pmod 2\) 一定是 # 号的位置（折纸位置）！
又所以，最后我们求得了：
\(lr\)（右边折后位置），\(lf\)（左边折后位置），\(lo\)（上边折后位置），\(lu\)（下边折后位置）。
- 注：记得将他们转化成原数组的位置！！！
Think-2 找
那么，诸位接下来的“第一反应”一定是 bfs！
从“折后区间”的开始位置找 0，找到就看它“连着”几个 0，然后打标记。
Solve
那我们不如优化一下，就像“种萝卜”一样，在 bfs 的过程中，遇到 \(0\) 我们就把它变成 \(1\)！
Partial Code
const int dx[4] = {1, 0, -1, 0}; // 移列
const int dy[4] = {0, -1, 0, 1}; // 移行
void dfs(int i, int j){// 第 i 行, 第 j 列
s[i][j] = '1'; num--; if(!num) return ;
for(int c = 0; c < 4; c++){
if(i + dy[c] >= lo && i + dy[c] <= lu && j + dx[c] >= lf && j + dx[c] <= lr && s[i + dy[c]][j + dx[c]] == '0')
{ dfs(i + dy[c], j + dx[c]); }
}
return ;
}
如果看到这里，我相信，你一定懂得一二了！！！
猜你心，解你疑
是否考虑对折部分的长度大小，优先折大的 \(min_p[i]\)？
-
答：多虑了。如果倒着想，最后折出来的区间一定是 唯一 的！所以顺序是无所谓的！
-
总结：无论你心中的折的顺序的之类的问题，请明白：
最后折出来的区间一定是“唯一”的！
特别注意！！！
- 如果你是正常的 memset，一定会出现 TLE，因为 \(2 \cdot N\) 太大了，会有许多的 浪费清空！！！
可以像这样：
memset(min_p, 0x3f, sizeof(int) * (2*m+1));
不为难你，我告诉你清空的变量：\(ans\)，\(min_p\)，\(p\)，\(mncs\)（其中 \(p\) 和 \(mncs\) 是每次 Manacher 时都要清空！！！）
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lt;
const int N = 1e6 + 10;
const int dx[4] = {1, 0, -1, 0}; // 移列
const int dy[4] = {0, -1, 0, 1}; // 移行
int T, n, m, min_p[N*2], min_pt[N*2], lf, lr, lo, lu, num;// n 行 m 列
string s[N], st[N]/*反转后的串*/;
int ans = 0;
char mncs[N*2]; int p[N*2];
void manacher(string s, int min_p[]){
// memset(mncs, '\0', sizeof(mncs)); memset(p, 0, sizeof(p));
int len = s.size();
mncs[0] = '#';
for(int i = 0; i < len; i++){
mncs[i*2+1] = s[i];
mncs[i*2+2] = '#';
}
int mid, r = -1;
for(int i = 0; i <= 2*len; i++){
p[i] = (i <= r) ? min(p[2*mid-i], r-i) : 0;
while(p[i] < i && mncs[i-p[i]-1] == mncs[i+p[i]+1]) p[i]++;
if(i + p[i] > r) r = i + p[i], mid = i;
}
for(int i = 0; i <= 2*len; i++){
min_p[i] = min(min_p[i], p[i]);
}
}
void dfs(int i, int j){// 第 i 行, 第 j 列
s[i][j] = '1'; num--; if(!num) return ;
for(int c = 0; c < 4; c++){
if(i + dy[c] >= lo && i + dy[c] <= lu && j + dx[c] >= lf && j + dx[c] <= lr && s[i + dy[c]][j + dx[c]] == '0')
{ dfs(i + dy[c], j + dx[c]); }
}
return ;
}
int main(){
scanf("%d", &T);
while(T--){
ans = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(min_p, 0x3f, sizeof(int) * (2*m+1));
memset(min_pt, 0x3f, sizeof(int) * (2*n+1));
//处理min_p 以及 输入 和 翻转串 pt
int nu = n - 1; // 翻转串 pt 的 列 = n
for(int x = 0; x < m; x++)
st[x].resize(n);
for(int i = 0; i < n; i++){
cin >> s[i];//长为 m
for(int k = 0; k <= m*2; k++){
p[k] = 0;
}
manacher(s[i], min_p);
for(int x = 0; x < m; x++){//这里表示 m 行 n 列
st[x][nu] = s[i][x];
}
nu--;
}
memset(mncs, 0, sizeof(char) * (2*m+1));
//处理min_pt
for(int i = 0; i < m; i++){
for(int k = 0; k <= n*2; k++){
p[k] = 0;
}
manacher(st[i], min_pt);
}
memset(mncs, 0, sizeof(char) * (2*n+1));
//处理左右
int csl = m*2+1;
//从右往左翻
lr = csl-1;
for(int i = csl-1; i >= 0; i--){
if(i+min_p[i] >= lr && i % 2 == 0 /* 保证折的位置是'#' */) lr = i;
} lr--;//让它变成数字位置
//从左往右折
lf = 0;
for(int i = 0; i < lr; i++){
if(i-min_p[i] <= lf && i % 2 == 0) lf = i;
} lf++;
//处理上下
int cslt = n*2+1;
//从右往左折(从上往下)
lo = cslt-1;
for(int i = cslt-1; i >= 0; i--){
if(i+min_pt[i] >= lo && i % 2 == 0) lo = i;
} lo--;
//从左往右折(从下往上)
lu = 0;
for(int i = 0; i < lo; i++){
if(i-min_pt[i] <= lu && i % 2 == 0) lu = i;
} lu++;
lo = cslt - lo - 1; lu = cslt - lu - 1;
//现在，我们要将 lf, lr, lo, lu 转化成"串"的 lf, lr, lo, lu
lf = (lf+1)/2 - 1, lr = (lr+1)/2 - 1, lo = (lo+1)/2 - 1, lu = (lu+1)/2 - 1;
num = 0;
//dfs
for(int i = lo; i <= lu; i++)
for(int j = lf; j <= lr; j++)
if(s[i][j] == '0') num++;
if(!num) printf("0\n");
else{
for(int i = lo; i <= lu; i++){
for(int j = lf; j <= lr; j++){
if(s[i][j] == '0'){
ans++;
dfs(i, j); // 第 i 行, 第 j 列
}
if(!num) break;
}
}
printf("%d\n", ans);
}
}
return 0;
}
后记
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