【题解】[AGC019C] Fountain Walk【保姆级】
【题解】[AGC019C] Fountain Walk【保姆级】
前言
楼中的 Ebola 是我的老师，可以认为我的题解更加“平民化”，放心食用！
前置题目
分析问题
简化题目
给定一个只有第一象限的直角坐标系，每两条横行纵列上，只能有一个“喷泉”，半径为 \(10\)，坐标系的单位长度为 \(100\)，给定两个点，求两者之间的最短距离。
假设
起点在左下，终点在右上。
Solve-1 走走看
也就是说我们会不断的往右上方走，遇到喷泉就绕 \(1/4\) 周转弯，通过这样，我们可以把原来的转弯的 \(20\) 优化成 5π。
但如果绕 \(1/2\) 圆周，你一定又会很容易的想到两点之间线段最短！
因此，我们的策略便是：
我们希望在往右上走的过程中，尽可能遇到多的圆盘！
Solve-2 怎么走
因为我们要一直往右上走，绝对不可以回头或者向下，也就是说，我们希望喷泉可以一直往右上，横纵坐标依次 上升！
但是，喷泉的位置是随机的！可是，喷泉仍然有规律可循：喷泉的横坐标从左往右可以依次 遍历上升！
我们可以想象这是某个数组的 下标，然后喷泉的纵坐标为数组对应的内容，那么解决问题的关键便是 最长上升子序列！
Solve-3 优化呗
保留
保留由起点和终点的横纵坐标包围而成的矩形！（这很好理解）
scanf("%lld%lld%lld%lld", &ax, &ay, &bx, &by);
lt minx = min(ax, bx), maxx = max(ax, bx);
lt miny = min(ay, by), maxy = max(ay, by);
scanf("%lld", &n);
while(n--){
scanf("%lld%lld", &a, &b);
if(a >= minx && a <= maxx && b >= miny && b <= maxy)
g.push_back({a, b});
}
镜像翻转
上述的内容都基于：起点在左下，终点在右上。如果以此类推，那么你一定会崩溃！
这时，我们只需要通过镜像翻转的技巧！
-
改变坐标的数据，让起点成为坐标原点！
-
这时你会很容易的想到不断通过对称，将终点的新坐标变换到第一象限即可，也就是横纵坐标皆为正数！
//以起点a为坐标原点(镜像翻转时我只需要让所有的点在第一象限（也就是说横纵坐标都为正数）。
void chg(){
bx = bx - ax > 0 ? bx - ax : ax - bx;
by = by - ay > 0 ? by - ay : ay - by;
for(T v : g){
v.x = v.x - ax > 0 ? v.x - ax : ax - v.x;
v.y = v.y - ay > 0 ? v.y - ay : ay - v.y;
as[++num].y = v.y, as[num].x = v.x;
}
ax = 0, ay = 0;
}
离散化
实话说，不离散化，我真不道道友要如何完成 LIS，这是非常重要的操作，否则不管是数组大小还是求解，难度和内存上都是说不过去的！
for(T v : g) as[++num].y = v.y, as[num].x = v.x;
计算
找规律的东西不会有人要暴力模拟吧。 其实只要找到要经过几个喷泉就可以！
到时这里有一个大问题：
若每一行都经过一个圆盘，或每一列都经过一个圆盘，则答案加上1/4圆周的长度！（应该好理解）
z = LIS();//求最多经过几个
ans = (bx - ax + by - ay) * dl;
ans = ans - z * r * 2;
ans = ans + (double)z * (double)5 * pi;
if(z == by - ay + 1 || z == bx - ax + 1)
ans = ans + (double)5 * pi;
提醒
- 半径的大小为 \(10\)！！！
- 我们只需要 \(11\) 位的精度！！！
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lt;
const lt N = 2e5 + 10, dl = 100, r = 10;
const long double pi = 3.141592653589793;
lt ax, ay, bx, by, a, b, z;
long double ans;
lt n, num;
struct T{
lt x, y;
};
vector<T> g;
T as[N];
lt d[N], L;
bool cmp(T a, T b){
return a.x < b.x;
}
void scin(){//输入
scanf("%lld%lld%lld%lld", &ax, &ay, &bx, &by);
lt minx = min(ax, bx), maxx = max(ax, bx);
lt miny = min(ay, by), maxy = max(ay, by);
scanf("%lld", &n);
while(n--){
scanf("%lld%lld", &a, &b);
if(a >= minx && a <= maxx && b >= miny && b <= maxy)
g.push_back({a, b});
}
}
void chg(){
bx = bx - ax > 0 ? bx - ax : ax - bx;
by = by - ay > 0 ? by - ay : ay - by;
for(T v : g){
v.x = v.x - ax > 0 ? v.x - ax : ax - v.x;
v.y = v.y - ay > 0 ? v.y - ay : ay - v.y;
as[++num].y = v.y, as[num].x = v.x;
}
ax = 0, ay = 0;
}
lt LIS(){
sort(as+1, as+1+num, cmp);
for(int i = 1; i <= num; i++){
if(as[i].y >= d[L]){
L++;
d[L] = as[i].y;
}
else{
int l = upper_bound(d+1, d+1+L, as[i].y) - d;
d[l] = as[i].y;
}
}
return L;
}
void count(){
ans = (bx - ax + by - ay) * dl;
ans = ans - z * r * 2;
ans = ans + (double)z * (double)5 * pi;
if(z == by - ay + 1 || z == bx - ax + 1) ans = ans + (double)5 * pi;
}
int main(){
scin();//输入
chg();
//以起点a为坐标原点(镜像翻转时我只需要让所有的点在第一象限（也就是说横纵坐标都为正数）。
z = LIS();//求最多经过几个
count();//计算~
printf("%.15Lf", ans);
return 0;
}
//虽然答案要保留15位小数输出，但是实际只要11位的精度
后记
- 愿诸君如愿以偿。
