工程数学上机实验（四）

共轭梯度法程序设计

1、实验目的

掌握共轭梯度法的基本思想及其迭代步骤；学会运用 MATLAB 编程实现常用优化算法；能够正确处理实验数据和分析实验结果及调试程序。

2、实验内容

（1）求解无约束优化问题；

（2）终止准则取，搜索方法采用非精确搜索 Armijo；

（3）完成 FR 共轭梯度法的 MATLAB 编程、调试；

（4）选取几个与实验二实验三中相同的初始点，并给出相关实验结果的对比及分析（从最优解、最优值、收敛速度（迭代次数）等方面进行比较）；

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

3、操作要点

（1）通过编程实现 FR 共轭梯度法；

（2）使用 MTALAB 调试程序，并将实验结果保存到文件中；

（3）撰写实验报告。

4、主要仪器设备

微机及 Matlab 软件

代码:

FR_CG.m

function [x, fval, k] = FR_CG(fun, x0, max_iter, tol)
% FR 共轭梯度法求解非线性方程组
% fun: 目标函数
% x0: 初始点
% max_iter: 最大迭代次数
% tol: 容许误差
% x: 最优解
% fval: 目标函数的最小值
% k: 迭代次数

% 初始化
k = 0;
x = x0;
g = gradient(fun, x);
d = -g;
fval = feval(fun, x);

while (k < max_iter) && (norm(g) > tol)
    % 确定步长
    alpha = fminbnd(@(alpha) feval(fun, x+alpha*d), 0, 1);
    % 更新解和梯度
    x_new = x + alpha*d;
    g_new = gradient(fun, x_new);
    % 更新 FR 共轭方向
    beta = (g_new'*(g_new - g)) / norm(g)^2;
    d_new = -g_new + beta*d;
    % 更新变量
    x = x_new;
    g = g_new;
    d = d_new;
    fval = feval(fun, x);
    k = k + 1;
end
end

function g = gradient(fun, x)
% 计算梯度
h = 1e-8;
n = length(x);
g = zeros(n, 1);
for i = 1:n
    x1 = x;
    x1(i) = x1(i) + h;
    g(i) = (feval(fun, x1) - feval(fun, x)) / h;
end
end

main.m

% 定义目标函数
f = @(x) 100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;

% 设置不同的初始点并调用 FR 共轭梯度法求解
x0_list = [1.2, 1.2; -1.2, 1.2; -1.2, -1.2; 1.2, -1.2; 0, 0];
max_iter = 1000; % 设置最大迭代次数
tol = 1e-5; % 设置容许误差

for i = 1:size(x0_list, 1)
    x0 = x0_list(i,:)'; % 设置当前初始点
    [x, fval, k] = FR_CG(f, x0, max_iter, tol); % 调用 FR_CG 函数求解

    % 输出结果
    fprintf('初始点 (%.1f, %.1f)：\n', x0(1), x0(2));
    fprintf('最优解为：(%.2f, %.2f)\n', x(1), x(2));
    fprintf('迭代次数为：%d\n\n', k);
end

运行结果: