工程数学上机实验（二）

最速下降法程序设计

1、实验目的

通过最速下降法的程序设计，为今后的约束优化方法的学习和编程奠定基础；掌握负梯度方向 的定义和最速下降法的迭代公式；通过此次实验，进一步巩固最速下降法的基本原理和思想。

2、实验内容

（1）求解无约束优化问题：

（2）终止准则取

（3）完成最速下降法（负梯度法）的 MATLAB 编程、调试；

（4）要求选取多个不同的初始点，并给出迭代次数，最优函数值等相关信息，有能力的学尝 试画出最优值随迭代次数变化的曲线图；

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

3、操作要点

（1）最速下降法 Matlab 的实现；

（2）学会分析实验结果；

（3）撰写实验报告；

4、主要仪器设备

微机及 Matlab 软件

代码:

grad.m

function [x,val,k] = grad(fun,gfun,x0)
%功能: 用最速下降法求解无约束问题: min f(x)
%输入: x0是初始点，fun，gfun分别是目标函数和梯度
%输出: x，va1分别是近似最优点和最优值， k是选代次数.
maxk = 5000; % 最大迭代次数
rho = 0.5;
sigma = 0.4;
k = 0;
epsilon = 1e-5;

while (k < maxk)
    g = feval(gfun,x0); % 计算梯度
    % 初始化搜索方向
    d = -g;
    if (norm(d) < epsilon)
        break;
    end
    m = 0;
    mk = 0;
    while (m < 20) % Armijo搜索
        if (feval(fun,x0+rho^m*d) < feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)
            mk = m;
            break;
        end
        m = m+1;
    end
    x0 = x0+rho^mk*d;
    k = k+1;
end

x = x0;
val = feval(fun,x0);
end

main.m

% 定义目标函数和梯度函数
fun = @(x) 100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;
gfun = @(x) [400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1); -200*(x(1)^2-x(2))];

% 定义多个不同的初始点
x0_list = [1.2, 1.2; -1.2, 1.2; -1.2, -1.2; 1.2, -1.2; 0, 0];

% 遍历所有初始点并运行 grad 函数
for i = 1:size(x0_list, 1)
    x0 = x0_list(i, :)';
    [x, val, k] = grad(fun, gfun, x0);
    fprintf('初始点: (%.1f, %.1f), 迭代次数: %d, 最优函数值: %f\n', x0, k, val);
end

运行结果