做题笔记

题目

1.倍数个数

请问在 10000（含）到 90000（含）中，有多少个数是 128 的倍数。

从L~R 有多少个数，满足XX条件？可以直接遍历，也可以用前缀。

定义一个sum[]数组，sum[i]储存从1_{i有多少个数满足XX条件(从1}i有多少个数是128的倍数，直接用i/128)，最后用sum[R]-sum[L-1]。

2.年份计数

2021 是一个特殊的年份，它的千位和十位相同，个位比百位多一。请问从 1000（含） 到 9999（含） 有多少个这样的年份？

循环，枚举从1000~9999的所有年份，然后获取该年份的各个位数上的数字，进行判断，比较。

获取X个位上的数字，X%10

获取X十位上的数字，X/10%10

获取X百位上的数字，X/100%10

以此类推。

3.排列计数

如果 1到 n 的一个排列中，所有奇数都在原来的位置上，称为一个奇不动排列。

例如，1 到 7 的排列 (1,6,3,4,5,2,7) 是一个奇不动排列，因为 1,3,5,7 都在原来的位置上。

请问，1 到 21 的所有排列中，有多少个奇不动排列。

奇不动排列：1 _ 3 _ 5 _ 7 _ ... _ 21 奇数位置不动，偶数任意排列，答案就是偶数个数的阶乘。

4.节节高升

小蓝要上一个楼梯，共 15 级台阶。

小蓝每步可以上 1 级台阶，也可以上 2 级、3 级或 4 级，再多就没办法一步走到了。

每级台阶上有一个数值，可能正也可能负。每次走到一级台阶上，小蓝的得分就加上这级台阶上的数值。

台阶上的数值依次为：1,2,1,1,1,1,5,5,4,−1,−1,−2,−3,−1,−9。

小蓝希望不超过 6 步走到台阶顶端，请问他得分的最大值是多少？

注意，小蓝开始站在地面上，地面没有分值。他最终要走到台阶顶端，所以最终一定会走到数值为 −9 的那级台阶，所以 −9 一定会加到得分里面。

递归或者动态规划，动态转移方程 f(stair + i, step - 1) + a[stair-1] stair 目前在哪一级。step 目前剩下几步。

5.数递增三元组

在数列α[1],a[2],……. ,a[n] 中，如果对于下标i,j,k满足0<i<j<k<n＋1且a[i]<a[j]<a[k],则称a[i],a[j],a[k]为一组递增三元组。

请问对于下面的长度为20的数列，有多少个递增三元组?

2,9,17,4,14,10,25,26,11,14,16,17,14,21,16,27,32,20,26,36。

使用三重循环从小到大遍历，然后进行判断。

6.人字排列

一个 1 到 n 的排列被称为人字排列，是指排列中的第 11 到第 (+1)/2(n+1)/2 个元素单调递增，第 (+1)/2(n+1)/2 到第 n 个元素单调递减。

例如：(2,3,5,8,9,7,6,4,1) 是一个人字排列，而 (1,2,3) 和 (2,1,3) 都不是人字排列，(2,4,3) 也不是一个人字排列（它甚至不是一个 1 到 4的排列）。

请问，1到 n 的排列中有多少个人字排列？

人字排列就是最大的字在中间，然后最大值左边的数递增，右边的数递减，所以中间的字就确定了，这时候只需要确定左边的数字，右边的数字自然就确定了。所以只用求左边的数字有多少种组合。当n为奇数时，最大值左边有(n-1)/2个位置，当n为偶数时，最大值左边有n/2-1，综合起来就是⌊(n-1)/2⌋。也就是在剩下的n-1个数里再挑⌊(n-1)/2⌋。所以就有

计算组合数可以使用杨辉三角

	int c[1001][1001]
	c[1][0] = c[1][1] = 1;
	for (int i = 2; i < n; i++)
	{
		c[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= i; j++)
		{
			c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j])%1000000007;//
		}
	}//矩阵储存,第一行只有一个1，可以直接赋值

需要在计算杨辉三角的时候就进行求模，不然数据会超过int类型。

7.设计方案

小蓝给出了教学楼的平面图，用一个n行m列的01矩阵表示，其中0表示空地，1表示教学楼。两个相邻的1 (上下相邻或左右相邻）之间互相可达。请帮小蓝检查一下，是否教学楼的任意两个地方都可以连通到其它地方。

输入描述

输入的第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔。接下来n行，每行一个长度为m的01串，表示教学楼的平面图。

输出描述

如果满足要求，输出"YES"，否则输出"NO"”，请注意字母全部都是大写。

使用深度优先搜索，，二维字符数组存储01串，输入时注意用getchar消除回车，或直接使用cin进行输入，并且记录'1'的数量，搜索的时候判断是否存在上、下、左、右的位置，并且根据bool类型的vs数组判断是否去过，没去过，而且数值为'1'就继续访问，访问到一个就计数，最后与输入时记录的数量比较。

8.2021公约数

如果一个整数g能同时整除整数A和B，则称g是A和B的公约数。例如:43是86和2021的公约数。

请问在1(含）到2021(含)中，有多少个数与2021存在大于1的公约数。请注意2021和2021有大于1的公约数，因此在计算的时候要算一个。

辗转相除法

int gcd(int a, int b)
{
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);   
}
int main()
{
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= 2021; i++)
	{
		if (gcd(i, 2021) > 1)
			cnt++;
	}
	printf("%d", cnt);
}

9.数字三角形

如图数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。
　  
1. 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
2. 三角形行数小于等于 100；
3. 三角形中的数字为 0，1，…，99；
    
测试数据通过键盘逐行输入。

如上例数据应以样例所示格式输入：

数字三角形。从最下面网上递推，

int a[101][101];
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= i; j++)
			cin >> a[i][j];
	}
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
	{
		for (int j = 0; j <= i; j++)
		{
			if (a[i + 1][j] >= a[i + 1][j + 1])
				a[i][j] += a[i + 1][j];         //处理
			else
				a[i][j] += a[i + 1][j + 1];

		}
	}
	cout << a[0][0] << endl;
}

10.组合型枚举

输入n,m,在n个中选m个，找出所有方案

int n;//共计N个数
int m;//选m个数
vector<int> chosen;
void calc(int x) {
    if (chosen.size() > m || chosen.size() + (n - x + 1) < m) //剪枝
        return;
    if (x == n + 1) { //选够了m个数输出
        for (int i = 0; i < chosen.size(); i++)
            printf("%d ", chosen[i]);
            //也可以不输出，存放起来也是可以的，主要是看题目。
        puts("");
        return;
    }
    calc(x + 1);
    chosen.push_back(x);
    calc(x + 1);
    chosen.pop_back();//消除痕迹
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
     calc(1);
}

11.排列型枚举

求n个元素的全排列

int n; //共计N个数
int order[20];
bool chosen[20];
void calc(int k)
{
	if (k == n + 1)
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cout << order[i] << " ";

		puts("");

		return;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (chosen[i])
			continue;
		order[k] = i;
		chosen[i] = 1;
		calc(k + 1);
		chosen[i] = 0;
		order[k] = 0;
	}
}
int main()
{
	cin >> n;
	calc(1);
}

12.差分

//读入原始数据 n,m,a

输入n,m

for(int i=1;i<=n;i++){
    
    输入a[i]
}

//差分
for(int i=1;i<=n;i++)
    
    b[i]=a[i]-a[i-1] 

//区间操作
while(m--)
{
    输入l,r,value
    b[l]+value
    b[r+1]-value
}

//前缀和还原
for(int i=1;i<n;i++)
    
    b[i]=b[i]+b[i-1] 

13.前缀和

输 入 N 和 M 

输入 N 个值 并计算前缀和
for( int i=1;i<=N;i++)
    输入a[i]
    并计算sum[i]=sum[i-1]+a[i]

输入 M 个区间，计算结果

while(M)
    M-=1
    输入 L , R
    计算 [r]-[l-1]，并输出

14.选择排序

void select_Sort(int* a, int len)
{
	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		int k = i;
		for (int j = i + 1; j < len; j++)
		{
			if (a[j] < a[k]) k = j;
		}
		if (k != i) swap(a[i], a[k]);
	}
}
int main()
{

	int a[] = { 5 ,4 ,6 ,8 ,7, 1, 2 ,3 };
	select_Sort(a, 8);
	for (auto i : a) cout << i << " ";

}

swap是交换函数

15.冒泡排序

#include <iostream>
using namespace std;

void BubbleSort(int arr[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        for(int j = 0; j < n - i - 1; j++)
        {
            if(arr[j] > arr[j+1])
               swap(arr[j],arr[j+1]);
        }
    }
}

int main ()
{

    int a[6] = {4, 5, 6, 1, 2, 3};
    BubbleSort(a,6);
    for(auto i: a) cout<<i<<" ";

}

16.桶排序

int maxN=10; //题目出现的数据的最大值
int a[maxN];
int n;
cin>>n

for(int i=0;i<n;i++)
{
    int key;
    cin>>key;
    a[key]++;
 
}

for(int i=0;i<maxN;i++)
{
    for(int j=0;j<a[i];j++)
    {
        cout<<i<<" ";
    }
}

17.插入排序

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

void insert_Sort(int *a,int len)
{
    for (int i=0; i<len; i++)
    {
        int x = a[i];
        int j = i - 1;
        while( j>=0&&x < a[j])
        {
            a[j + 1] = a[j];
            j -= 1;
        }
        a[j + 1] = x;
    }
}

int main ()
{

    int a[9] = {0, 3, 2, 4, 1, 6, 5, 2, 7};
    insert_Sort(a,9);
    for(auto i: a) cout<<i<<" ";

}

18.二分查找

// 在单调递增序列a中查找>=x的数中最小的一个（即x或x的后继）
while (low < high)
{
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] >= x)
        high = mid;

    else
        low = mid + 1;
}

// 在单调递增序列a中查找<=x的数中最大的一个（即x或x的前驱）
while (low < high)
{
    int mid = (low + high + 1) / 2;

    if (a[mid] <= x)
        low = mid;

    else
        high = mid - 1;
}

19.实数的二分查找

//模版一：实数域二分，设置eps法
//令 eps 为小于题目精度一个数即可。比如题目说保留4位小数，0.0001 这种的。那么 eps 就可以设置为五位小数的任意一个数 0.00001- 0.00009 等等都可以。
//一般为了保证精度我们选取精度/100 的那个小数，即设置 eps= 0.0001/100 =1e-6
while (l + eps < r)
{
    double mid = (l + r) / 2;
    if (pd(mid))
        r = mid;
    else
        l = mid;
}

//模版二：实数域二分，规定循环次数法
//通过循环一定次数达到精度要求，这个一般 log2N < 精度即可。N 为循环次数，在不超过时间复杂度的情况下，可以选择给 N 乘一个系数使得精度更高。
    for (int i = 0; i < 100; i++)
{
    double mid = (l + r) / 2;
    if (pd(mid))
        r = mid;
    else
        l = mid;
}