汉诺塔

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一、起源

汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从上往下按照大小顺序撩着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

二、抽象为数学问题：

从左到右有A、B、C三根柱子，其中A柱子面有从小叠到大的n个圆盘，现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去，期间只有一个盘子且大盘子不能在小盘子上面，求移动的次数

解：（1）n==1

                第一次    1号盘

                A-->C     sum=1次

          (2)  n==2

                 第一次    1号盘

                A-->B

                 第二次     2号盘

                A-->C

                 第三次      3号盘

                 B-->C       sum=3次

               ........

不难发现规律：1个圆盘的次数2的1次方减1

                         2个圆盘的次数2的2次方减1

                         3个圆盘的次数2的3次方减1

              ................

                         n个圆盘的次数2的n次方减1

                  故：移动次数为：2^n-1

 

三、算法分析

我们再利用计算机求汉诺塔问题时，必不可少的一步是对整个实现求解进行算法分析。求汉诺塔问题时最简单的算法还是通过递归来求。递归实现的机制是什么，我们说得简单点就是自己是一个方法或者是函数，但是在自己这个函数里有调用自己这个函数的语句。或者具体的说是在调用到某一次后函数能返回一个确定的值，一直到第一次调用的这个函数能返回一个确定的值。

实现这个算法可以简单分为三个步骤：

（1）把n-1个盘子由A移到B；

（2）把第n个盘子由A移到C；

（3）把n-1个盘子由B移到C；

四、源代码以及动图如下:

import turtle

class Stack:
    def __init__(self):
        self.items = []
    def isEmpty(self):
        return len(self.items) == 0
    def push(self, item):
        self.items.append(item)
    def pop(self):
        return self.items.pop()
    def peek(self):
        if not self.isEmpty():
            return self.items[len(self.items) - 1]
    def size(self):
        return len(self.items)

def drawpole_3():#画出汉诺塔的poles
    t = turtle.Turtle()
    t.hideturtle()
    def drawpole_1(k):
        t.up()
        t.pensize(10)
        t.speed(100)
        t.goto(400*(k-1), 100)
        t.down()
        t.goto(400*(k-1), -100)
        t.goto(400*(k-1)-20, -100)
        t.goto(400*(k-1)+20, -100)
    drawpole_1(0)#画出汉诺塔的poles[0]
    drawpole_1(1)#画出汉诺塔的poles[1]
    drawpole_1(2)#画出汉诺塔的poles[2]

def creat_plates(n):#制造n个盘子
    plates=[turtle.Turtle() for i in range(n)]
    for i in range(n):
        plates[i].up()
        plates[i].hideturtle()
        plates[i].shape("square")
        plates[i].shapesize(1,8-i)
        plates[i].goto(-400,-90+20*i)
        plates[i].showturtle()
    return plates

def pole_stack():#制造poles的栈
    poles=[Stack() for i in range(3)]
    return poles

def moveDisk(plates,poles,fp,tp):#把poles[fp]顶端的盘子plates[mov]从poles[fp]移到poles[tp]
    mov=poles[fp].peek()
    plates[mov].goto((fp-1)*400,150)
    plates[mov].goto((tp-1)*400,150)
    l=poles[tp].size()#确定移动到底部的高度（恰好放在原来最上面的盘子上面）
    plates[mov].goto((tp-1)*400,-90+20*l)

def moveTower(plates,poles,height,fromPole, toPole, withPole):#递归放盘子
    if height >= 1:
        moveTower(plates,poles,height-1,fromPole,withPole,toPole)
        moveDisk(plates,poles,fromPole,toPole)
        poles[toPole].push(poles[fromPole].pop())
        moveTower(plates,poles,height-1,withPole,toPole,fromPole)

myscreen=turtle.Screen()
drawpole_3()
n=int(input("请输入汉诺塔的层数并回车:\n"))
plates=creat_plates(n)
poles=pole_stack()
for i in range(n):
    poles[0].push(i)
moveTower(plates,poles,n,0,2,1)
myscreen.exitonclick()

动图如下

 

              

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