海明码浅析

海明码

首先，海明码是一种基于偶校验的一种校验码，只适用于编码有一位出错的情况。

海明码的位数

对于原来的n位信息码 $D_4D_3D_2D_1$ ，我们为其加上k位校验码，也就是一共n + k位

对于这n + k位码，每一位都有可能出错，因此对于每一种出错情况加起来一共n + k种状态，再加上全部正确的情况，因此一共n + k + 1中状态。

而k位校验码，因为是二进制，所以一共能表示 $2^k$ 种状态。

因此，我们校验码能表示的状态要大于等于可能出现的状态，即 $2^k\ge n + k + 1$

另外第i位校验码 $P_i$ 要放在海明码的第 $2^{i - 1}$ 位上

海明码个人理解

我们假设信息位为 1010，此时n = 4，可得k = 3

我们先确定校验位的分布：

$H_7$	$H_6$	$H_5$	$H_4$	$H_3$	$H_2$	$H_1$
$D_4$	$D_3$	$D_2$	$P_3$	$D_1$	$P_2$	$P_1$
1	0	1	？	0	？	？

我们对于这7位海明码的信息位序号先进行二进制转换，即

$H_3:3 \rightarrow 0 1 1$

$H_5:5 \rightarrow 1 0 1$

$H_6:6 \rightarrow 1 1 0$

$H_7:7 \rightarrow 1 1 1$

而第 i 位校验码可以理解为掌管着信息码序号的第 (i - 1) 位二进制位上为 1 的那些信息码（这样有助于最后统一确认错误代码的位置，后面会解释）

那么第 1 位校验码也就掌管着 $H_3、H_5、H_7$ ，因为他们的第 0 位二进制位上为 1

同理可得，

第 2 位校验码掌管着 $H_3、H_6、H_7$

第 3 位校验码掌管着 $H_5、H_6、H_7$

那么，我们该如何确定每一位校验码 $P_i$ 上是 0 还是 1 呢？

最开始提过，海明码是一种基于偶校验的一种校验码，因此对于每一位校验码加上其掌管的那些信息位一共有偶数个 1 即可

举一个例子：

对于第一位校验码和其掌管的信息位 $P_1、H_3、H_5、H_7$ ，我们只需要让这四个数字有偶数个 1 即可，因为信息位为 1010，所以此时不算 $P_1$ 已经有 2 个 1 了，因此我们得到 $P_1$ 为 0，我们可以用异或的方式来计算 $P_1$ ，即

$P_1 = H_3\bigoplus H_5 \bigoplus H_7$

依次计算，我们最后就可以得到我们所要的海明码了。

那么对于已知的一串海明码我们又该如何确定错误的那一位呢？

理解了上面的，这个就非常简单了，还是以第一位校验码举例子，我们只需要计算 $P_1 \bigoplus H_3\bigoplus H_5 \bigoplus H_7$ 的值是否为 0，如果为 0 则说明校验码 $P_1$ 和其掌管的信息位没有错，如果为 1 则说明错误的位置序号的二进制下第 0 位有 1 的那些序号