[Luogu4182][USACO18JAN]Lifeguards P[单调队列]

题意

给定 \(n\) 个区间，必须去掉其中的 \(K\) 个，询问能够保留的区间并的最大值。

\(n \leq 10^5\ ,K \leq 100\) 。

分析

• 定义状态 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个区间中去掉了 \(j\) 个且强制选 \(i\)，最多能够得到多大的区间并。

• 转移比较显然： \(f_{i,j}=\max_{k=i-j-1}^{i-1}\{f_{k,j-(i-k-1)}+val(k,i)\}\) , \(val(k,i)\) 表示 \(i\) 不和 \(k\) 交的部分。

• 根据 \(j-(i-x-1)=k\) 可以得到 \(j-i+x+1=k\) ，即 \(i-j-1=x-k\) ，\(x\) 表示转移位置。

• 所以对于转移可以搞到一个 \(i -j\) 的位置并用单调队列位置维护最优转移。

• 总时间复杂度为 \(O(nk)\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=1e5 + 7;
int n,K,ans;
int f[N][104],gg[N];
struct data{
	int l,r;
	bool operator <(const data &rhs)const{
		if(l!=rhs.l) return l<rhs.l;
		return r>rhs.r;
	}
}v[N],b[N];
struct node{int id,val;};deque<node>q[N];
int main(){
	n=gi(),K=gi();
	rep(i,1,n) v[i].l=gi(),v[i].r=gi();
	sort(v+1,v+1+n);
	int ndc=0,lst=-1;
	rep(i,1,n){
		if(v[i].r>lst) b[++ndc]=v[i],lst=v[i].r;
		else K--;
	}
	if(K<0) K=0;
	rep(i,1,ndc){
		rep(j,0,min(i-1,K)){
			int p=i-j-1;
			for(;!q[p].empty()&&b[q[p].front().id].r<b[i].l;q[p].pop_front())
				Max(gg[p],q[p].front().val+b[q[p].front().id].r);
				
			Max(f[i][j],gg[p]+b[i].r-b[i].l);
			if(!q[p].empty())
			Max(f[i][j],q[p].front().val+b[i].r);
			int val=f[i][j]-b[i].r;
			p=i-j;
			for(;!q[p].empty()&&q[p].back().val<=val;q[p].pop_back());
			q[p].push_back((node){i,val});
		}
	}
	rep(i,1,ndc)
	rep(j,0,min(i-1,K)) if(ndc-i+j==K) Max(ans,f[i][j]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}