C++欧几里得算法求最大公约数和最小公倍数

定义

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。
一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。
一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。
那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况。

欧几里得算法

过程

如果我们已知两个数 $a$ 和 $b$，如何求出二者的最大公约数呢？
不妨设$a>b$
我们发现如果 b 是 a 的约数，那么 b 就是二者的最大公约数。 下面讨论不能整除的情况，即$a=b\ast q+r$,
其中$r<b$
我们通过证明可以得到$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$,过程如下：
设 $a=bk+c$，显然有 $c=amodb$。设 $d\mid a$,$d\mid b$，则$c=a-bk$, $\frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k$。
由右边的式子可知$\frac{c}{d}$ 为整数，即 $d\mid c$，所以对于 $a$,$b$ 的公约数，它也会是 $b$,$amodb$ 的公约数。
反过来也需要证明：
设 $d\mid b$,$d\mid (amodb)$，我们还是可以像之前一样得到以下式子
$\frac{amodb}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k,\frac{amodb}{d}+\frac{b}{d}k=\frac{a}{d}$。
因为左边式子显然为整数，所以$\frac{a}{d}$ 也为整数，即 d \mid a，所以 b,a\bmod b 的公约数也是 a,b 的公约数。
既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同。
所以得到式子$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$
既然得到了 $gcd(a,b)=gcd(b,r)$，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法。

实现

int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

最小公倍数

int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}
int lcm = a * b / gcd(a, b);