C++线性筛——筛质数详解
什么是质数
质数也叫素数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
怎么判断质数
具体代码如下：
bool primes(int x) {
int cnt = 0;//计数，看看从1到x有多少个因数
for(int i = 1; i <= x; i++) {
if(x % i == 0) cnt++;//如果x%i==0，代表i是x的因数，计数器加1
}
if(cnt == 2) return true;//如果有且只有两个因数，那么x是质数，否则不是。
else return false;
}稍加修改就可以减少很多时间复杂度。
代码如下：
bool primes(int x) {
for(int i = 2; i <= x - 1; i++) {
if(x % i == 0) return false;
}
return true;
}根据因数的性质，可以再优化：
bool primes(int x) {
for(int i = 2; i <= sqrt(x); i++) {
if(x % i == 0) return false;
}
return true;
}如何筛质数
埃筛法（不必要知道埃筛，时间复杂度高）会重复筛掉一些，如质数2会筛6，而3也会筛6，这就慢了许多，那么我们可不可以只筛一次呢，办法是有的，就是只筛这个合数的最小质因数
做法
1.依次枚举每一个数
2.若当前数没被筛，则把这个数加入质数集合
3.对于每一个数，枚举当前已知质数，并相应筛掉当 前 数 × 枚 举 到 的 质 数 当前数 \times 枚举到的质数当前数×枚举到的质数，而被筛掉的那个数的最小质因数一定是枚举到的质数(为什么看后面)
4.如果i是枚举到的质数的倍数，停止枚举质数
代码如下：
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}例题
哥德巴赫猜想的内容如下：
任意一个大于 44 的偶数都可以拆成两个奇素数之和。
例如：
8=3+5
20=3+17=7+13
42=5+37=11+31=13+29=19+23
现在，你的任务是验证所有小于一百万的偶数能否满足哥德巴赫猜想。
输入格式
输入包含多组数据。
每组数据占一行，包含一个偶数 n。
读入以 0 结束。
输出格式
对于每组数据，输出形如 n = a + b，其中 a,b 是奇素数。
若有多组满足条件的 a,b，输出 b−a 最大的一组。
若无解，输出 Goldbach's conjecture is wrong.。
数据范围
6≤n<
输入样例：
8
20
42
0
输出样例：
8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37就是线性筛的模板题：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void init(int n) {
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
for(int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if(i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main() {
init(N - 1);
int n;
while(cin >> n, n) {
for(int i = 1; ; i++) {
int a = primes[i];
int b = n - a;
if(!st[b]) {
printf("%d = %d + %d\n", n, a, b);
break;
}
}
}
return 0;
}