四元数

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何为四元数？讲解四元数的文章往往会把四元数跟复数联系在一起。诚然，四元数的起源跟复数有关系，但是理解复数系统并不是理解四元数的首要条件。
提到四元数，我们首先要提到一个人——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），根据欧拉旋转定理（wiki），在三维空间里，假设一个刚体在做一个位移的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。还有另外一种阐述：3D中的任意角位移都能表示为绕单一轴的单一旋转。如图所示：

 

所谓角位移也就是旋转，我们通常用欧拉角表示，这也是最容易理解的一种形式。

那么轴-角形式跟四元数有什么关系？它们并不等同，但是却也密不可分。

上图的四元数表示法：

q=[cos(θ/2) sin(θ/2)e]

注意这里e是图中的向量，即

q=[cos(θ/2) sin(θ/2)ex sin(θ/2)ey sin(θ/2)ez]

 

那么接着我们就要讨论四元数跟复数的关系了，首先先把William Hamilton这个四元数的发明者提出来，免得大家觉得没意思跳过了这段。

首先，什么是复数？

我们知道在实数范围里，对负数开方是没有意义的。但是偏偏有人愿意做“没有意义”（注意这里是引号）的事情，于是定义了虚数i，i的平方等于-1。

那么当实数和虚数加在一起，便成为了复数。

a+bi

其中a被称为实部，b被成为虚部。

因为有实部和虚部，所以我们可以认为在复数集存在于一个2D平面（复数平面，又称高斯平面）上，两个轴分别为实轴和虚轴，这样x+yi就可以视作一个2D的点P为(x,y)。

 

当P绕原点旋转角度θ时

 

我们可以用另外一个复数来表示这个旋转：

q=cosθ+isinθ

旋转后的点

p1=pq=(x+yi)(cosθ+isinθ)=(xcosθ-ysinθ)+(xsinθ+ycosθ)i

因为i的平方为-1，所以复数为我们提供了一个有趣的旋转的表示法。（我们可以将这里的q理解为“2D平面上的四元数”，但其实他们之间还是有区别的）

然后我们的主角终于登场了，爱尔兰数学家William Hamilton多年来一直致力于寻找一种方法将复数从2D扩展到3D。他认为，这种新的复数应该有一个实部和两个虚部。然而，Hamilton一直没有办法创造出一种有两个虚部的有意义的复数。但故事并没有结束，1843年，在赴皇家爱尔兰学院演讲的路上，他突然意识到应该有三个虚部而不是两个。他把定义这种新复数类型性质的等式刻在Broome桥上。这样，四元数就诞生了。（本段抄自《3D数学基础：图形与游戏开发》）

四元数扩展了复数系统，它使用三个虚部i，j，k。它们的关系如下：

ii=jj=kk=-1

ij=k,ji=-k

jk=i,kj=-i

ki=j,ik=-j

一个四元数[w, x, y, z]定义了复数w+xi+yj+zk。

具体四元数的一些公式，我们有缘再讲，只是有一个必须要提一下，这也是2D和3D上的区别。

定义三维上的点(x,y,z)在四元数空间上的坐标p=[0,x,y,z]，那么如何让这个点绕轴e旋转θ？我们设绕轴e旋转θ对应的四元数为q，那么旋转后的点为：

p1=qpq-1

其中q-1为q的逆（等于q的共轭复数除以q的模，[w,x,y,z]的共轭为[w,-x,-y,-z]，模的定义与向量模类似，为各项平方和的开方）。

（Unity3D里我们可以直接用四元数Quaternion乘以向量Vector3，得到旋转后的点）

最后提一句，四元数可以解决欧拉角的万向锁问题和别名问题（所以U3D里使用Quaternion来保存旋转）。
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