【agc005F】Many Easy Problems
Solution
我们考虑统计每一个点的贡献，同样也是“正难则反”，（假设现在是一棵有根树，根节点是\(1\)）发现一个点\(x\)对当前的选择方案没有贡献当且仅当选择的\(k\)个点都在\(x\)的某一个儿子的子树内或者都不在\(x\)的子树内，然后总的方案数也是很好统计的，所以我们可以考虑用减法求出一个点在选择\(k\)个点的情况下的贡献\(val_k(x)\)：
\[val_k(x)=\binom n k-\sum\limits_{u\in son(x)}\binom {size[u]} k
\]
其中\(size[u]\)表示的是以\(u\)为根的子树大小
然后总的贡献就可以写成：
\[Ans(k)=\sum\limits_{i=1}^{n}val(i)=n\cdot \binom n k-\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{u\in son(i)}\binom {size[u]}k
\]
这个时候我们可以考虑将相同的\(size[u]\)合并一下，记\(cnt[x]\)表示\(size=x\)的节点个数：
\[Ans(k)=n\cdot\binom n k-\sum\limits_{i=1}^{n}cnt[i]\binom i k
\]
前面的部分可以单独计算，我们将后面的sigma单独拎出来，将组合数展开：
\[\begin{aligned}
Ans1(k)&=\sum\limits_{i=1}^n cnt[i]\binom i k\\
&=\sum\limits_{i=1}^n cnt[i]\cdot i!\cdot k!\cdot \frac{1}{(i-k)!}\\
Ans1(k)\cdot k!&=\sum\limits_{i=1}^n cnt[i]\cdot i!\cdot \frac{1}{(i-k)!}
\end{aligned}
\]
然后我们发现后面的那个其实是一个卷积形式，然后看一下这个长得很奇怪的模数：\(924844033 =2^{21}*3^2*7^2+1\)，有个\(2^{21}\)那所以我们可以放心NTT
令\(A[i]=cnt[i]\cdot i!\)，令\(B[n-i]=\frac{1}{(n-i)!}\)然后直接卷积一下即可，答案中指数为\(n+k\)的项的系数就是\(Ans1(k)\)
然后就可以直接算了ovo
代码大概长这个样子
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MOD=924844033,N=2*(1e5)+10,NT=N*4,G=5;
struct xxx{
int y,nxt;
}a[N*2];
int h[N],fac[N],invfac[N],cnt[N],sz[N],ans[N];
int vala[N],valb[N];
int n,m,tot;
int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
int add(int x,int y){return (1LL*x+y)%MOD;}
int ksm(int x,int y){
int ret=1,base=x;
for (;y;y>>=1,base=mul(base,base))
if (y&1) ret=mul(ret,base);
return ret;
}
namespace NTT{/*{{{*/
int A[NT],B[NT],rev[NT],W[NT][2];
int len,invlen;
void init(){
int invg=ksm(G,MOD-2);
for (int i=1;i<=19;++i){
W[1<<i][0]=ksm(G,(MOD-1)/(1<<i));
W[1<<i][1]=ksm(invg,(MOD-1)/(1<<i));
}
}
void get_len(int n,int m){
for (int i=0;i<len;++i) A[i]=B[i]=0;
int bit=0;
for (len=1;len<=n+m;++bit,len<<=1);
rev[0]=0;
for (int i=1;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
invlen=ksm(len,MOD-2);
}
void ntt(int *a,int op){
int w,w_n,u,v;
for (int i=0;i<len;++i) if (rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
for (int step=2;step<=len;step<<=1){
w_n=W[step][op==-1];
for (int st=0;st<len;st+=step){
w=1;
for (int i=0;i<(step>>1);++i){
v=mul(a[st+i+(step>>1)],w);
u=a[st+i];
a[st+i]=add(u,v);
a[st+i+(step>>1)]=add(u,MOD-v);
w=mul(w,w_n);
}
}
}
if (op==1) return;
for (int i=0;i<len;++i) a[i]=mul(a[i],invlen);
}
void Ntt(int *a,int *b,int n,int m){
get_len(n,m);
for (int i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i];
for (int i=0;i<=m;++i) B[i]=b[i];
ntt(A,1);
ntt(B,1);
for (int i=0;i<len;++i) A[i]=mul(A[i],B[i]);
ntt(A,-1);
}
}/*}}}*/
void Add(int x,int y){a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot;}
void prework(int n){
NTT::init();
fac[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
invfac[n]=ksm(fac[n],MOD-2);
for (int i=n-1;i>=0;--i) invfac[i]=mul(invfac[i+1],i+1);
}
int C(int n,int m){return n<m?0:1LL*fac[n]*invfac[m]%MOD*invfac[n-m]%MOD;}
void dfs(int fa,int x){
int u;
sz[x]=1;
for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
u=a[i].y;
if (u==fa) continue;
dfs(x,u);
sz[x]+=sz[u];
}
if (fa) ++cnt[n-sz[x]],++cnt[sz[x]];
}
void solve(){
for (int i=1;i<=n;++i) vala[i]=mul(cnt[i],fac[i]);
for (int i=0;i<=n;++i) valb[n-i]=invfac[i];
//for (int i=0;i<=n;++i) printf("%d ",vala[i]);printf("\n");
//for (int i=0;i<=n;++i) printf("%d ",valb[i]);printf("\n");
NTT::Ntt(vala,valb,n+1,n+1);
for (int i=1;i<=n;++i) ans[i]=mul(NTT::A[n+i],invfac[i]);
for (int i=1;i<=n;++i)
printf("%d\n",add(mul(n,C(n,i)),MOD-ans[i]));
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
int x,y;
scanf("%d",&n);
memset(h,-1,sizeof(h));
tot=0;
for (int i=1;i<n;++i){
scanf("%d%d",&x,&y);
Add(x,y); Add(y,x);
}
prework(n);
dfs(0,1);
solve();
}
