【loj6059】Sum

Portal --> loj6059

Solution

​​　　看过去第一反应是。。大力数位dp！然后看了一眼数据范围。。。

​　　但是这没有什么关系！注意到我们不需要考虑前导零了，可以直接快乐dp

​　　状态还是能继续用的，记\(f[i][j][k]\)表示从左往右数的前\(i\)位，（假装后面没有数位的情况下）模\(p\)余\(j\)，数字和为\(k\)

​　　然后。。\(n\)特别大所以我们考虑。。倍增求解，考虑从\(\lfloor\frac{i}{2}\rfloor\)转移到\(i\)：

\[f[\lfloor\frac{i}{2}\rfloor][x][j]*f[\lfloor\frac{i}{2}\rfloor][y][k]\rightarrow f[i][x+y][(j+10^w*k)\%p] \]

​　　这个\(w\)的话就是。。\(\lfloor\frac{i}{2}\rfloor\)

​​　　但是如果说\(i\)是奇数怎么办呢？其实只要在这样转移完了之后再暴力枚举一下最高位是啥就好了（现在是相当于得到了一个\(i-1\)位的数嘛）

​​　　然后发现因为\(p\)和\(m\)都比较小，所以我们可以直接枚举，而第二维的那个\(f[][x][j]*f[][y][k]\rightarrow f[][x+y][]\)的是一个卷积的形式，我们可以用NTT来优化

​​　　具体的话其实感觉跟这题的处理有点像【Portal -->Lcm】，也是我们先将\(f[i][x]\)DFT（NTT）一下之后就可以随便搞事了，也就是相当于第二维和第三维在某种意义上独立了，然后我们可以将转移分开处理（先搞第二维的转移，再暴力枚举第三维的转移）

​　　至于倍增的话。。递归就好了，边界的话就是\(i=0\)的情况

​​　　因为中间要快乐NTT所以一定要记得相关数组清空

​　　

​​　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MOD=998244353,N=3010,M=3010,NT=N*4,TOP=11,G=3;
int f[N][M],g[N][M];
int n,m,p,ans;
int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
int add(int x,int y){return (1LL*x+y)%MOD;}
int ksm(int x,int y){
	int ret=1,base=x;
	for (;y;y>>=1,base=mul(base,base))
		if (y&1) ret=mul(ret,base);
	return ret;
}
namespace NTT{/*{{{*/
	int A[NT],B[NT],W[NT][2],rev[NT];
	int len,invlen,invg;
	void get_len(int n,int m){
		for (int i=0;i<len;++i) A[i]=B[i]=0;
		int bit=0;
		for (len=1;len<=n+m;len<<=1,++bit);
		rev[0]=0;
		for (int i=1;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
		invlen=ksm(len,MOD-2);
	}
	void init(int n){
		invg=ksm(G,MOD-2);
		for (int i=1;i<=TOP;++i){
			W[1<<i][0]=ksm(G,(MOD-1)/(1<<i));
			W[1<<i][1]=ksm(invg,(MOD-1)/(1<<i));
		}
		get_len(n,n);
	}
	void ntt(int *a,int op){
		int w,w_n,u,v;
		for (int i=0;i<len;++i) if (rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for (int step=2;step<=len;step<<=1){
			w_n=W[step][op==-1];
			for (int st=0;st<len;st+=step){
				w=1;
				for (int i=0;i<(step>>1);++i){
					v=mul(a[st+i+(step>>1)],w);
					u=a[st+i];
					a[st+i]=add(u,v);
					a[st+i+(step>>1)]=add(u,MOD-v);
					w=mul(w,w_n);
				}
			}
		}
		if (op==1) return;
		for (int i=0;i<len;++i) a[i]=mul(a[i],invlen);
	}
}/*}}}*/
int work(int n){
	if (!n) return 1;
	int mi=work(n>>1);
	for (int i=0;i<p;++i) 
		NTT::ntt(g[i],1);
	for (int i=0;i<p;++i)
		for (int j=0;j<p;++j)
			for (int k=0;k<NTT::len;++k)
				f[(i+j*mi%p)%p][k]=add(f[(i+j*mi%p)%p][k],mul(g[i][k],g[j][k]));
	for (int i=0;i<p;++i) 
		for (int j=0;j<NTT::len;++j)
			g[i][j]=0;
	for (int i=0;i<p;++i){
		NTT::ntt(f[i],-1);
		for (int j=0;j<m;++j) g[i][j]=f[i][j];
		for (int j=0;j<NTT::len;++j) f[i][j]=0;
	}
	mi=mi*mi%p;
	if (n&1){
		for (int i=0;i<p;++i)
			for (int x=0;x<10;++x)
				for (int j=0;j+x<m;++j)
					f[(i+x*mi%p)%p][j+x]=add(f[(i+x*mi%p)%p][j+x],g[i][j]);
		for (int i=0;i<p;++i)
			for (int j=0;j<m;++j)
				g[i][j]=f[i][j],f[i][j]=0;
		mi=mi*10%p;
	}
	return mi;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d%d%d",&n,&p,&m);
	g[0][0]=1; ++m;
	NTT::init(m);
	work(n);
	ans=0;
	for (int i=0;i<m;++i){
		ans=add(ans,g[0][i]);
		printf("%d ",ans);
	}
}