【bzoj2893】征服王
Descripiton
给你一个\(n\)个点\(m\)条边的有向图，有一些点是起始点，有一些点是终止点，一次操作可以从一个起始点开始沿着有向图的边走到一个终止点（中途可以经过终止点），求需要至少多少次操作才能覆盖所有的点，无可行方案输出“no solution"
数据范围：\(t<=10,n <= 1000, m <= 10000\)，其中\(t\)为数据组数
Solution
首先肯定要缩点
完了之后重新建图我们就可以先直接判掉无解的情况了，如果说一个点（下面说的点都是缩完之后的点）的入度为\(0\)并且不能作为起点，或者说一个点出度为\(0\)并且不能作为终点那肯定不能走到这个点，所以肯定是无解的
否则一定存在一种方案覆盖所有的点
那现在就变成了一个求有向无环图的可相交最小点覆盖问题了
然后。。不能天真的认为dfs或者大力dp可以直接搞定。。没那么简单qwq
实际上这个有很多种做法，其中比较简洁的一种是有上下界的最小流
具体建图的话就是，我们将一个原图中的一个点拆成两个，\(x\)和\(x'\)
然后\(x\rightarrow x'\)连一条容量下界为\(1\)上界为\(+\infty\)的边，表示每个点至少被经过一次
对于原图中的每条边\((u,v)\)，我们建一条\(u'\rightarrow v\)的下界为\(0\)上界为\(+\infty\)的边，表示每条边最少可以不经过
然后跑一遍上下界最小流就好啦，具体一点的话就是建附加源和汇，对于一条容量为\([l,r]\)从\(u\rightarrow v\)的边拆成三条边，附加源\(\rightarrow v\)流量为\(l\)，附加汇\(\rightarrow u\)流量为\(l\)，\(u\rightarrow v\)流量为\(r-l\)，简单说一下理解的话就是前两条边是保证下界，最后一条边是在\([l,r]\)范围内随便流
这样建完图之后因为是要求有源汇的最小流，求解的话就是以附加源汇为起和终跑最大流，跑完了之后再加一条原来的汇\(\rightarrow\)源的\(+\infty\)的边，然后再在残留网络上跑一遍最大流就是答案了
具体的话。。我也不太会证明qwq可以去这篇博客膜拜
然后还有一种做法相对来说会麻烦一点点，就是有一个结论：如果我们按照如下方式建一个二分图：拆点，对于原图中\((u,v)\)的边，在二分图中连\(u\rightarrow v'\)，那么原图点数\(n\)-二分图最大匹配数=原图的最小不可相交路径覆盖（其实就是Portal -->bzoj1143懒。。所以晚点再补博了qwq这里先贴一个题目链接）
如果我们再稍微改一下，先对原图用floyd做一次传递闭包，然后如果说两个点\(u,v\)满足\(u\)能够到达\(v\)，那么在二分图中连一条\(u\rightarrow v'\)的边，这样用同样的方式计算就是原图的最小可相交路径覆盖了
然后这题的话我们也可以用这种方式来求解，这样就只用普通网络流来跑个匹配，但是之前还需要传递闭包（具体的话dtz说是先拓扑排序再直接大力dp，不过在这题里面时间是\(n^2\)级别的，但是因为\(n=1000\)所以问题不大%%%），大概是这样
第一种做法的代码大概长这个样子
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1010,M=10010,inf=2147483647;
int stok[N],edok[N];
int n,m,t,cntst,cnted;
namespace F{/*{{{*/
struct xxx{
int y,nxt,op,r;
}a[M*10];
queue<int> q;
int lv[N*2],h[N*2];
int tot,S,T,SS,TT;//S和T是附加源汇,SS和TT是原来的源汇
void init(){
tot=-1;
memset(h,-1,sizeof(h));
}
void add1(int x,int y,int r){
//printf("%d %d %d\n",x,y,r);
a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot; a[tot].r=r;
a[++tot].y=x; a[tot].nxt=h[y]; h[y]=tot; a[tot].r=0;
}
void add(int x,int y,int l,int r){
add1(S,y,l);
add1(x,T,l);
add1(x,y,r-l);
}
bool bfs(){
while (!q.empty()) q.pop();
memset(lv,0,sizeof(lv));
q.push(S); lv[S]=1;
int u,v;
while (!q.empty()){
v=q.front(); q.pop();
for (int i=h[v];i!=-1;i=a[i].nxt){
u=a[i].y;
if (!a[i].r||lv[u]) continue;
lv[u]=lv[v]+1;
q.push(u);
if (u==T) return true;
}
}
return false;
}
int dfs(int v,int o){
if (!o||v==T) return o;
int u,ret=0,flow;
for (int i=h[v];i!=-1;i=a[i].nxt){
u=a[i].y;
if (!a[i].r||lv[u]!=lv[v]+1) continue;
flow=dfs(u,min(o,a[i].r));
if (flow){
o-=flow;
ret+=flow;
a[i].r-=flow;
a[i^1].r+=flow;
if (!o) break;
}
}
if (!ret) lv[v]=-1;
return ret;
}
int dinic(){
int ret=0;
while (bfs()) ret+=dfs(S,inf);
return ret;
}
}/*}}}*/
namespace G{/*{{{*/
struct xxx{
int y,nxt;
}a[M*2];
int h[N],dfn[N],low[N],st[N],id[N];
int Stok[N],Edok[N],ind[N],outd[N];
bool ins[N];
int tot,dfn_t,cnt,top;
void add(int x,int y){a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot;}
void init(){
memset(h,-1,sizeof(h));
tot=0;
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(ind,0,sizeof(ind));
memset(outd,0,sizeof(outd));
memset(ins,false,sizeof(ins));
memset(Stok,false,sizeof(Stok));
memset(Edok,false,sizeof(Edok));
top=0; cnt=0;
}
void tarjan(int x){
int u;
dfn[x]=low[x]=++dfn_t; st[++top]=x; ins[x]=true;
for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
u=a[i].y;
if (!dfn[u]){
tarjan(u);
low[x]=min(low[x],low[u]);
}
else if (ins[u])
low[x]=min(low[x],dfn[u]);
}
if (low[x]==dfn[x]){
++cnt; u=st[top];
while (u!=x){
id[u]=cnt;
if (stok[u]) Stok[cnt]=true;
if (edok[u]) Edok[cnt]=true;
ins[u]=false;
u=st[--top];
}
id[x]=cnt;
if (stok[x]) Stok[cnt]=true;
if (edok[x]) Edok[cnt]=true;
ins[x]=false;
--top;
}
}
bool rebuild(){
int u;
dfn_t=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
if (dfn[i]==0) tarjan(i);
F::SS=cnt*2+1; F::TT=F::SS+1;
F::S=F::SS+2; F::T=F::SS+3;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=h[i];j!=-1;j=a[j].nxt){
u=a[j].y;
if (id[i]!=id[u]){
++ind[id[u]],++outd[id[i]];
F::add(id[i]+cnt,id[u],0,inf);
}
}
for (int i=1;i<=cnt;++i){
F::add(i,i+cnt,1,inf);
if (!ind[i]){
if (!Stok[i]) return false;
F::add(F::SS,i,0,inf);
}
if (!outd[i]){
if (!Edok[i]) return false;
F::add(i+cnt,F::TT,0,inf);
}
}
return true;
}
}/*}}}*/
void solve(){
if (!G::rebuild()){printf("no solution\n");return;}
F::dinic();
F::add(F::TT,F::SS,0,inf);
int ans=F::dinic();
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
int x,y;
scanf("%d",&t);
for (int o=1;o<=t;++o){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&cntst,&cnted);
G::init();
memset(stok,false,sizeof(stok));
memset(edok,false,sizeof(edok));
for (int i=1;i<=cntst;++i)
scanf("%d",&x),stok[x]=true;
for (int i=1;i<=cnted;++i)
scanf("%d",&x),edok[x]=true;
for (int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d",&x,&y);
if (x!=y) G::add(x,y);
}
F::init();
solve();
}
}
