【bzoj2402】陶陶的难题II

Portal -->bzoj2402

Solution

　　这题的话，看到答案的形式想到分数规划（Portal -->【learning】)

　　套路一波，记当前二分的\(mid\)为\(\lambda'\)，那么其实就是要快速判断：

\[\begin{aligned} &(y_i+q_j)-\lambda'(x_i+p_j)\\ =&(y_i-\lambda' x_i)+(q_j-\lambda' p_j) \end{aligned} \]

　　的最大值与\(0\)的大小关系

　　

　　上面的这个式子虽然说与\(i\)和\(j\)有关，但是两个部分的形式是完全一样并且相互不影响的，可以看成一个函数\(g\)，那么对于每次询问我们只要求出\(x\)到\(y\)路径上的\(g\)然后找最大值和次大值加起来就好了

　　求\(x\)到\(y\)路径上的信息我们可以考虑用树链剖分，接下来的问题就是怎么求一条重链中所有点的\(g\)的最大值

​ 　　

　　观察\(g\)的形式：

\[\begin{aligned} g(i)&=y_i-\lambda'x_i\\ y_i&=\lambda'x_i+g(i) \end{aligned} \]

　　那其实可以转化成一个这样的问题：求斜率为\(\lambda'\)且过\((x_i,y_i)\)的直线的截距的最大值

​　　容易得出结论最优的\((x_i,y_i)\)一定是在上凸壳上的

　　那所以我们考虑对于树剖中的线段树的每一个区间，分别维护这个区间中的点对应的\((x_i,y_i)\)和\((q_i,p_i)\)的上凸壳，查询的话直接在上凸壳上二分就好了
　　

　　一些需要注意的地方：

1、在查询二分的时候，由于题目没有保证任意两个点的\(x，y，p，q\)不相同，所以不能直接用除法，而是应该移下项用乘法判断

2、额如果是用vector存凸包的话。。在求凸包的时候。。要注意下标是从\(0\)开始的！\(0\)开始的！\(0\)开始的！嗯。。

3、然后我的叉积好像写的有点丑了不过！不管了qwq

　　

　　代码大概长这样

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define Pr pair<double,double>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int N=1e5+10,SEG=N*4,inf=2147483647;
const double eps=1e-5;
struct xxx{
    int y,nxt;
}a[N*2];
double val[N][4];
int h[N],top[N],son[N],sz[N],pre[N],dep[N];
int lis[N],dfn[N];
int n,m,tot,dfn_t;
void update(Pr &ret,Pr data);
void add(int x,int y);
void dfs1(int fa,int x,int d);
void dfs2(int fa,int x);
bool check(int x,int y,double k);
void solve(int x,int y);
 
struct Hull{/*{{{*/
    vector<Pr> a;
    void insert(double x,double y){a.push_back(mp(x,y));}
    double chaji(Pr x,Pr y){return x.first*y.second-x.second*y.first;}
    void build(){
        sort(a.begin(),a.end());
        vector<Pr> st;
        st.clear();
        int top=0;
        for (int i=0;i<a.size();++i){
            while (top>1&&chaji(mp(a[i].first-st[top-2].first,a[i].second-st[top-2].second),mp(st[top-1].first-st[top-2].first,st[top-1].second-st[top-2].second))<0)
            //!!因为是从0开始的所以st的下标都要-1
                --top,st.pop_back();
            ++top; st.push_back(a[i]);
        }
        a=st;
        a.resize(top);
    }
    double query(double k){
        int l=0,r=a.size()-1,mid;
        while (l<r){
            mid=l+r>>1;
            if (a[mid+1].second-a[mid].second<=k*(a[mid+1].first-a[mid].first)) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        return a[l].second-k*a[l].first;
    }
    void debug(){
        for (int i=0;i<a.size();++i) printf("%.2lf %.2lf\n",a[i].first,a[i].second);
    }
};/*}}}*/
namespace Seg{/*{{{*/
    int ch[SEG][2];
    Hull info[SEG][2];
    int n,tot;
    void _build(int x,int l,int r){
        int tmp;
        for (int i=l;i<=r;++i){
            tmp=lis[i];
            info[x][0].insert(val[tmp][0],val[tmp][1]);
            info[x][1].insert(val[tmp][2],val[tmp][3]);
        }
        info[x][0].build(); info[x][1].build();
        if (l==r) return;
        int mid=l+r>>1;
        ch[x][0]=++tot; _build(ch[x][0],l,mid);
        ch[x][1]=++tot; _build(ch[x][1],mid+1,r);
    }
    void build(int _n){n=_n; tot=1; _build(1,1,n);}
    Pr _query(int x,int l,int r,int lx,int rx,double k){
        if (l<=lx&&rx<=r){
            return mp(info[x][0].query(k),info[x][1].query(k));
        }
        Pr ret=mp(-inf,-inf);
        int mid=lx+rx>>1;
        if (l<=mid) update(ret,_query(ch[x][0],l,r,lx,mid,k));
        if (r>mid) update(ret,_query(ch[x][1],l,r,mid+1,rx,k));
        return ret;
    }
    Pr query(int l,int r,double k){return _query(1,l,r,1,n,k);}
}/*}}}*/
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x,y;
    scanf("%d",&n);
    for (int j=0;j<4;++j) 
        for (int i=1;i<=n;++i)
            scanf("%lf",&val[i][j]);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    tot=0;
    for (int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    dfs1(0,1,1);
    top[1]=1; dfn_t=0;
    dfs2(0,1);
    Seg::build(n);
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        solve(x,y);
    }
}
 
void add(int x,int y){
    a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot;
}
 
void dfs1(int fa,int x,int d){
    int u;
    son[x]=0; sz[x]=1; pre[x]=fa; dep[x]=d;
    for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
        u=a[i].y;
        if (u==fa) continue;
        dfs1(x,u,d+1);
        if (sz[son[x]]<sz[u]) son[x]=u;
        sz[x]+=sz[u];
    }
}
 
void dfs2(int fa,int x){
    int u;
    dfn[x]=++dfn_t; lis[dfn[x]]=x;
    if (son[x]){
        top[son[x]]=top[x];
        dfs2(x,son[x]);
    }
    for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
        u=a[i].y;
        if (u==fa||u==son[x]) continue;
        top[u]=u;
        dfs2(x,u);
    }
}
 
bool check(int x,int y,double k){
    Pr ret=mp(-inf,-inf);
    while (top[x]!=top[y]){
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        update(ret,Seg::query(dfn[top[x]],dfn[x],k));
        x=pre[top[x]];
    }
    if (dfn[x]>dfn[y]) swap(x,y);
    update(ret,Seg::query(dfn[x],dfn[y],k));
    return ret.first+ret.second>0;
}
 
void update(Pr &ret,Pr data){
    ret.first=max(ret.first,data.first);
    ret.second=max(ret.second,data.second);
}
 
void solve(int x,int y){
    double l=0,r=1e5,mid,ans;
    while (r-l>eps){
        mid=(l+r)*0.5;
        if (check(x,y,mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.4lf\n",l);
}