【bzoj2707】走迷宫
Solution
首先题目有一个十分明显的暗示。。强联通分量。。那肯定就是要tarjan一波咯
先看看什么情况下会\(INF\)，其实就是题目里面讲的两种：
一种是根本走不到出口，一种是存在一个点，起点能够走到这个点但是这个点走不到出口
具体判断方式的话分别从起点和出口跑两遍dfs就好了
对于不是\(INF\)的情况，考虑用dp来算到达每个点的期望步数
用\(f[i]\)表示\(i\)走到终点的期望步数，\(du[i]\)表示\(i\)点的出度，对于不为出口的点，可以得到式子
\[f[i]=1+\sum f[u]*\frac{1}{du[i]}
\]
其中\(u\)满足原图中存在一条\((i,u)\)的边
对于出口\(T\)则有\(f[T]=0\)
然后每个点的式子是一样的，我们把\(f[i]\)看成未知数，就可以考虑用高斯消元解方程组来解决问题
然而很尴尬的事情是\(n<=10000\)，直接消元愉快爆炸qwq
注意到题目那个给的很奇怪的条件：强联通分量的大小\(<=100\)，而对于\(100\)的规模是可以高斯消元的
所以我们可以将图中的强联通分量分别缩点，然后对每个强联通分量消元
那对于一个强联通分量里面直接消消不出来的未知数怎么办呢？我们考虑按照一个特定的顺序来处理每个强联通分量，也就是按照缩点后的拓扑序逆序来消，这样可以保证到消到一个强联通分量的时候，里面涉及到的连出去的点的\(f\)值已经被处理出来了，方程数量和包含的未确定的\(f\)值的数量相同，这样在消元的时候就不会出现问题了
代码大概长这样（小trick在消元的时候两边乘上出度把分母搞掉会比较舒服一点）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
#define db double
using namespace std;
const int MAXN=10010;
struct xxx{
int y,nxt;
}a[1000010*2];
int h[MAXN],viscnt[MAXN],vis[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN];
int id[MAXN],belong[MAXN];
int st[MAXN],inst[MAXN],ind[MAXN],outd[MAXN],nind[MAXN],noutd[MAXN];
vector<int>dian[MAXN],na[MAXN],ina[MAXN];
db A[110][110],f[MAXN];
int n,m,tot,T,num,dfn_t,top,S,visT;
void add(int x,int y);
void dfs(int x);
void tarjan(int x);
void prework();
bool check();
void checkdfs1(int x);
void checkdfs2(int x);
void solve();
void solvedfs(int x);
void gauss(int b);
void fill(int b);
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
int x,y;
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
memset(h,-1,sizeof(h));
tot=0;
for (int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d",&x,&y);
if (x==T) continue;
++ind[y]; ++outd[x];
add(x,y);
}
prework();
solve();
}
void prework(){
num=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
if (dfn[i]==0) tarjan(i);
int u;
for (int i=1;i<=n;++i){
for (int j=h[i];j!=-1;j=a[j].nxt){
u=a[j].y;
if (belong[i]!=belong[u]){
na[belong[i]].push_back(belong[u]);
ina[belong[u]].push_back(belong[i]);
}
}
}
}
void add(int x,int y){
a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot;
}
void tarjan(int x){
int u;
dfn[x]=++dfn_t; low[x]=dfn[x]; st[++top]=x; inst[x]=true;
for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
u=a[i].y;
if (dfn[u]==0){
tarjan(u);
low[x]=min(low[u],low[x]);
}
else if (inst[u])
low[x]=min(low[x],dfn[u]);
}
if (low[x]==dfn[x]){
++num;
int tmpcnt=0;
do{
u=st[top--]; inst[u]=false;
id[u]=++tmpcnt; nind[num]+=ind[u]; noutd[num]+=outd[u];
belong[u]=num;
dian[num].push_back(u);
}while (u!=x);
}
}
void checkdfs1(int x){
int u;
++viscnt[x]; vis[x]=visT;
for (int i=0;i<na[x].size();++i)
if (vis[na[x][i]]!=visT)
checkdfs1(na[x][i]);
}
void checkdfs2(int x){
int u;
viscnt[x]+=2; vis[x]=visT;
for (int i=0;i<ina[x].size();++i)
if (vis[ina[x][i]]!=visT)
checkdfs2(ina[x][i]);
}
bool check(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
++visT; checkdfs1(belong[S]);
++visT; checkdfs2(belong[T]);
for (int i=1;i<=num;++i) if (viscnt[i]==1) return false;
return true;
}
void solve(){
if (!check()){printf("INF\n");return;}
++visT;
solvedfs(belong[S]);
printf("%.3lf\n",f[S]);
}
void solvedfs(int x){
vis[x]=visT;
for (int i=0;i<na[x].size();++i)
if (vis[na[x][i]]!=visT)
solvedfs(na[x][i]);
gauss(x);
}
void fill(int b){
int sz=dian[b].size(),x,u;
memset(A,0,sizeof(A));
for (int i=0;i<sz;++i){
x=dian[b][i];
A[i][sz]=1*outd[x];//all *outd[x];
for (int j=h[x];j!=-1;j=a[j].nxt){
u=a[j].y;
if (belong[u]==b)
A[i][id[u]-1]--;
else
A[i][sz]+=f[u];
}
A[i][i]+=outd[x];
}
}
void gauss(int b){
if (b==belong[T]){f[T]=0; return;}
fill(b);
int id,n=dian[b].size();
db tmp;
for (int i=0;i<n;++i){
id=i;
for (int j=i+1;j<n;++j)
if (fabs(A[j][i])>fabs(A[id][i])) id=j;
if (id!=i)
for (int j=0;j<=n;++j) swap(A[id][j],A[i][j]);
for (int j=i+1;j<n;++j){
tmp=A[j][i]/A[i][i];
for (int k=i;k<=n;++k)
A[j][k]-=tmp*A[i][k];
}
}
for (int i=n-1;i>=0;--i){
for (int j=n-1;j>i;--j)
A[i][n]-=A[i][j]*A[j][n];
A[i][n]/=A[i][i];
}
for (int i=0;i<n;++i)
f[dian[b][i]]=A[i][n];
}
