线段树入门
2013-10-19 23:07 youxin 阅读(628) 评论(0) 编辑 收藏 举报线段树（Segment Tree）（也叫区间树）是一种二叉搜索树，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左子树表示的区间为[a,(a+b)/2]，右子树表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树。叶节点数目为N，即整个线段区间的长度。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
另外还有如zkw线段树的特种线段树。
定义1：长度为1的线段称为元线段。
定义2：一棵树被称为线段树，当且仅当这棵树满足如下条件：
（1）该树是一棵二叉树；
（2）树中的每一个结点都对应一条线段[a,b]；
（3）树中的结点是叶子结点，当且仅当它所代表的线段是元线段；
（4）树中非叶子结点都有左右两棵子树，左子树树根对应线段[a,(a+b)/2]，右子树树根对应线段[(a+b)/2,b]。
性质1：长度范围为[1,L]的一棵线段树的深度不超过log2(L-1)+1；
性质2：线段树上的结点个数不超过2L个；
性质3：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log2L条线段。
存储方式：
（1）链表实现：
Node=^TNode;
TNode=record
Left,Right:integer;
LeftChild,RightChild:Node;
end;
（2）数组模拟链表：
Left,Right,LeftChild,RightChild:array[1..n] of integer;
（3）堆的结构：
根节点为1，对于结点x，其左孩子为2x，右孩子为2x+1
线段树构造
首先介绍构造线段树的方法：让根节点表示区间[0,N-1]，即所有N个数所组成的一个区间，然后，把区间分成两半，分别由左右子树表示。不难证明，这样的线段树的节点数只有2N-1个，是O(N)级别的，如图：
线段树的维护：
#include<iostream> using namespace std; typedef struct Node{ int left,right; struct Node* leftChild; struct Node* rightChild; int min,max,sum; Node():min(0),max(0),sum(0){} }Node; void build(Node* curNode,int l,int r) { curNode->left=l,curNode->right=r; if(l==r) { curNode->leftChild=curNode->rightChild=NULL; } else { curNode->leftChild=new Node(); curNode->rightChild=new Node(); int mid=(l+r)/2; build(curNode->leftChild,l,mid); build(curNode->rightChild,mid+1,r); } } void query(Node* curNode,int l,int r) { // // 如果当前结点的区间包含在查询区间内 if(l<=curNode->left && curNode->right<=r) { cout<<curNode->left<<"--->"<<curNode->right<<endl; } else { int mid=(curNode->left+curNode->right)/2; if(l<=mid)// 和左孩子有交集，考察左子结点 query(curNode->leftChild,l,r); if(r>mid) query(curNode->rightChild,l,r); } } void modify(Node* curNode,int x,int num) { Node* LC=curNode->leftChild; Node* RC=curNode->rightChild; if(curNode->left==curNode->right)//对叶节点进行处理 { curNode->min=num; curNode->max=num; curNode->sum=num; } else { int mid=(curNode->left+curNode->right)/2; if(x<=mid) modify(LC,x,num); else if(x>mid) modify(RC,x,num); curNode->sum=LC->sum+RC->sum;//上推 if(LC->max > RC->max) curNode->max=LC->max; else curNode->max=RC->max; if(LC->min < RC->min) curNode->min=LC->min; else curNode->min=RC->min; } } int querySum(Node* curNode,int l,int r) { Node* LC=curNode->leftChild; Node* RC=curNode->rightChild; int ret=0; if(l<=curNode->left && curNode->right<=r) ret=curNode->sum; else { int mid=(curNode->left+curNode->right)/2; if(l<=mid) ret += querySum(LC,l,r); if(r>mid) ret += querySum(RC,l,r); } return ret; } int main() { int n=5; Node* root=new Node(); build(root,0,n-1); modify(root,0,100); query(root,2,3); }
输出
2--->2
3--->3
请按任意键继续. . .
如果是：
modify(root,0,100);
modify(root,2,100);
modify(root,3,100);
cout<<querySum(root,0,2)<<endl;结果为：200.
线段树上的参数通常有两种维护方法：
（1）一类参数表达了结点的性质，通常具有树型的递推性质，可以从下向上进行递推计算；（如sum,max,min）
（2）一类参数表达了子树的性质，维护的时候可以先打上标记，在需要进一步访问其子结点的时候从上向下传递。（如delta,en）
线段树上维护或者询问过程的一般过程：
对于当前区间[l,r]
if 达到某种边界条件（如叶结点或被整个区间完全包含）then
对维护或是询问作相应处理
else
将第二类标记传递下去(注意，在查询过程中也要处理)
根据区间的关系，对两个孩子结点递归处理
利用递推关系，根据孩子结点的情况维护第一类信息
区间重合问题解决办法；
#include<iostream> using namespace std; struct Node { int left,right; //区间左右值 Node *leftChild; Node *rightChild; int cover; Node():cover(0){} }; void build(Node* node,int l,int r) { node->left=l; node->right=r; if(l==r) node->leftChild=node->rightChild=NULL; else { node->leftChild=new Node(); node->rightChild=new Node(); int mid=(l+r)/2; build(node->leftChild,l,mid); build(node->rightChild,mid+1,r); } } void insert(Node* node,int l,int r) { if(l<=node->left && node->right<=r) node->cover++; else { int mid=(node->left+node->right)/2; if(l<=mid) insert(node->leftChild,l,r); if(r>mid) insert(node->rightChild,l,r); } } /* 给线段树每个节点增加一个域cover。cover=1表示该结点所对应的区间被完全覆盖，cover=0表示该结点所对应的区间未被完全覆盖。 */ void insert2(Node* node,int l,int r) { if(node!=NULL && node->cover==0) { int mid=(node->left+node->right)/2; if(l==node->left && r==node->right) node->cover=1; else if(r<=mid) insert2(node->leftChild,l,r); else if(l>=mid) insert2(node->rightChild,l,r); else { insert2(node->leftChild,l,r); insert2(node->rightChild,l,r); } } } int count(Node* node) { int m,n; if(node->cover==1) return (node->right-node->left+1); else if(node->right-node->left==1) return 1; m=count(node->leftChild); n=count(node->rightChild); return m+n; } void deleteLine(Node* node,int l,int r) { if(l<=node->left && node->right<=r) node->cover--; else { int mid=(node->left+node->right)/2; if(l<=mid) deleteLine(node->leftChild,l,r); if(r>mid) deleteLine(node->rightChild,l,r); } } int main() { int n=8; Node * node=new Node(); build(node,1,8); insert2(node,1,4); insert2(node,2,5); insert2(node,7,8); cout<<count(node)<<endl; }
上面的insert和insert2不同，这里判断区间重合我们用到了insert2。
count看cover有没有设置为1.则直接返回node.right - node.left+1，其子树不用管.
更多；
http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326
http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7828961
http://blog.csdn.net/yangtrees/article/details/8262594
http://www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/
