二分图简介
2013-10-05 04:51 youxin 阅读(4602) 评论(0) 编辑 收藏 举报二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
最大匹配在实际中有广泛的用处，求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。即回溯法，但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。
二分图的最大匹配有2种实现，网络流和匈牙利算法。（《算法导论》第26章有讲网络流算法）
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的.但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数.因此，需要寻求一种更加高效的算法.
匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若边集合P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。(（举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行）。
由增广路径的定义可以推出下述三个结论：
1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2. P经过“取反操作”（即非M中的边变为M中的边，原来M中的边去掉）可以得到一个更大的匹配M’。
（我画的例子：
路径A-F为路径P，BC和DE属于M，可以看到在路径p上属于M和边和不属于M的边交替出现。先黑后红，再黑，在红。
由于增广路规定是连同2个未匹配的顶点。所有P的长度一定是奇数。
P经过“取反操作”（即非M中的边变为M中的边，原来M中的边去掉）可以得到一个更大的匹配M’。可以从图中看出来，
把原来匹配的边（红色表示）去掉，把黑色的边加上，匹配数由2变成了3.增大了。（大概增广路径的名字也是这么来的吧！）
3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
百度百科增广路:http://baike.baidu.com/view/3585026.htm
从而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法：
(1)置M为空
(2)找出一条增广路径P，通过“取反操作”获得更大的匹配M’代替M
(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
根据该算法，可以选择深搜或者广搜实现，下面给出易于实现的深度优先搜索（DFS）实现。
//prototype
int n, m, match[100]; //二分图的两个集合分别含有n和m个元素,match[i]存储集合m中的节点i在集合n中的匹配节点,初值为-1。
bool visited[100], map[100][100]; //map存储邻接矩阵。
bool DFS(cosnt int &k)
{
for(int i = 0; i < m; i++)
if( map[k][i] && !visited[i] )
{
visited[i] = true;
if( match[i] == -1 || DFS(match[i]) ) //寻找是否为增广路径
{
match[i] = k; //路径取反操作。
return true;
}
}
return false;
}
int main(void)
{
//...........
int count = 0;
memset(match, -1, sizeof(match));
for(i = 0; i < n; i++)
{ //以二分集中的较小集为n进行匹配较优
memset(visited, 0,sizeof(visited));
if( DFS(i) ) ++count; //count为匹配数
}
//............
return 0;
}
优点：实现简洁，容易理解，适用于边比较多的图，DFS找增广路快.
相比较而言，广度优先搜索的优点：适用于稀疏二分图，边较少，增广路较短。（BFS实现略）
另外，二分图最大匹配可以转换成最大流问题来解。假设二分图的两个顶点集分别为X， Y，那么我们在图中添加一个源s，和一个汇t。同时，在s与X的每个顶点间加一条有向边(s, vx)，在Y的每个顶点与t间加一条有向边(vy, t)。X与Y的每条边也变为X－>Y的有向边。图中每条边的容量为1。则最大匹配问题就转换为求转换后的图G'的最大流的问题。利用Ford－Fulkerson方法求最大流，时间复杂度为O（VE）， V为顶点数，E为边数。具体证明参考《算法导论》。但是，经典的求二分图最大匹配的算法是Edmond于1965年提出的匈牙利算法。
题目：
JOJ 1102 Courses http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=1102 (最基本的二分图匹配)
JOJ 2393 The problem of a CEO http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=2393（二分图匹配+字符串处理）
本文来自CSDN博客，转载请标明出处：http://blog.csdn.net/Fandywang_jlu/archive/2008/03/20/2201351.aspx
熟悉的陌生人分析
原题
大家都知道facebook用户都是双向的好友，a是b的好友，那么b一定是a的好友，现在给定一个用户列表，其中有些用户是好友，有些不是，请判断，这些用户是否可以划分为两组，并且每组内的用户，互相都不是好友。如果能，请给出这个划分。
例子1： 用户：{1, 2, 3} 好友关系：1-2， 2-3 划分：{1,3} {2}
例子2： 用户{1,2,3,4} 好友关系：1-2， 2-3， 3-4，4-1 划分：{1, 3}{2, 4}
分析
有很多面试题比较直接，看到题目，面试者很自然的就想到用什么方法，这时候，往往面试官要的是bug-free的code；还有一些问题，不那么直接，那就是考察，应试者的分析问题、分解问题的能力。往往是一个相对复杂的问题，分解为我们见过的、相对简单的问题；还有一类问题，从实际当中来，这就需要有建模的能力，也可以说是把问题抽象出来的能力，然后才是分解成小的问题等。这样的题目，能够全面的考察应试者的能力。例如今天的面试题。
今天的面试题来自facebook的实际问题。像在我们国内，有很多同学在做新浪微博的数据挖掘，好友推荐、关系预测、圈子发现、转发分析、影响力分析等等，这些都是很实际、很有用的问题，每一个问题，都可以作为一个值得深入探讨的面试题。
相对而言，今天的面试题目比较简单。因为建模的部分，已经在题目中给出了。稍想一下，图分割的问题。facebook的好友关系是双向的，意味着是无向图（新浪微博，twitter都是有向图）。然后，要把图划分为两组，这两组满足什么条件呢？组内没有边，组间有边。这显然就是一个二分图。
那问题很明显了，就是facebook好友关系构成的图，是否是一个二分图？如果是，请找到这个划分。就是二分图判断+找到一个划分即可。
根据二分图的特性，一条边上的两个点，肯定是属于不同的组。如果它们出现在同一个组中，肯定就不是二分图了。怎么判断，一条边上的两个点，分属于不同的组呢？我们需要遍历图，如果找到一条边，两个节点，都在同一组，则不是二分图；如果图遍历完成之后，没有找到这样的边，则是二分图。我们在遍历的过程中，我们需要区分，一条边的两个节点分属于不同的组，这里我们用到了染色法。核心思想如下：
从某一个点开始，将这个节点染色为白色，并且开始广度优先遍历，找到与其相邻的节点，如果是二分图，相邻节点的颜色都应该不同。如果是黑色，则不变；如果是无色，则染成黑色；如果是白色，也就是同色，程序退出。当图遍历完毕时，没有相邻节点同色的，则是二分图，标记为白色和黑色的两组就是一个划分。
来看两个例子，第一个图中的例子2：
| 步骤 | 遍历节点 | 相邻节点 | 队列 |
| 1 | 1：白 | 2：黑，4：黑 | 2，4 |
| 2 | 2：黑 | 1：白，3：白 | 4，3 |
| 3 | 4：黑 | 1：白，3：白 | 3 |
| 4 | 3：白 | 2：黑，4：黑 | 空 |
队列空，结束遍历。找到划分{1,3}白{2,4}黑。
再看一个不是二分图的例子： 用户{1，2，3，4} 关系：1-2，1-3，1-4，2-3，3-4.
判断步骤如下：
| 步骤 | 遍历节点 | 相邻节点 | 队列 |
| 1 | 1：白 | 2：黑，3：黑，4：黑 | 2，3，4 |
| 2 | 2：黑 | 1：白，3：白 | 3，4 |
发现3矛盾了，则上面的关系，不够成二分图。
【分析完毕】
