HDU 5970 最大公约数

题目

有这样一个有关最大公约数的函数:
函数 f(x, y):

{
     c=0
     当 y>0:
     {
          c +=1
          t = x % y
          x = y
          y = t
      }
      返回 c * x * x
}

给出三个正整数n,m,p，你需要计算:

\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \lfloor \frac{i*j}{f(i,j)}\rfloor\)

输入格式

包含多组测试数据。
第一行有一个正整数，表示数据的组数。
接下来每行表示一组数据，这一行有三个空格隔开的正整数\(n,m,p\)。
保证 \(n <= 666,666,666, m <= 666, p <= 666,666,666\)。
最终的测试数据中共有66组数据，并且每一个\(n,m,p\)都是在上述范围内均匀随机生成的。

输出格式

对于每个输入数据输出一行，这一行只包含一个整数即答案。

输入样例

3
10 5 23333
100 10 23333
1000 20 23333

输出样例

271
22359
10998

题解

根据\(f\)的定义可得, \(f(i,j)=t \cdot gcd(i,j)^2\), 其中\(t\)为辗转相除的次数

可得 $$f(i+k∗j,j)=f(j,(i+k*j)%j)=f(j,i%j)$$$$f(i,j)=f(j,i%j)$$$$(1<=t<=n)$$

然后写出几个找一下规律, 对于同一个\(j\), 发现类似等差数列, 首项是\(i \cdot j/f(i,j)\), 公差为 \(j \cdot j/f(i,j)\), 并且循环\(t\)次

所以先计算出首项, 再算出每一项即可

代码

#include <cstdio>
long long f(int x, int y, int &gcd, int &c) {
    c = 0;
    int t;
    while (y) c++, t = x % y, x = y, y = t;
    gcd = x;
    return x * x * c;
}
long long n, m, p;
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
        int ans = 0, g, c;
        long long tmp, first, d, num;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int i = 0; i < j && i <= n; i++) {
                tmp = f(i, j, g, c);
                d = c * j * j / tmp;
                for (int k = 0; k < c; k++) {
                    if (i + k * j > n) break;
                    first = (i + k * j) * j / tmp;
                    num = (n - (i + k * j)) / (c * j) + 1;
                    ans = (ans + first * num % p + num * (num - 1) / 2 % p * d % p) % p;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}