[CareerCup 8.2] 机器人的路径

Imagine a robot sitting on the upper left hand corner of an NxN grid  The robot can only move in two directions: right and down  How many possible paths are there for the robot?

翻译：一个机器人在一个NxN的方格上的左上角，只能向下或向右走，请问到达右下角的路径有多少条？

分析：机器人在一个方格中，只有两种选择，要么是向下走，要么是向右走。我们用f(m, n)表示机器人在一个mxn的矩形的左上角上向下或向左走到右下角的路径的条数，我们很容易得出递归式子：f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)。其中f(m-1, n)表示机器人向下走时的情况，f(m, n-1)表示机器人向右走的情况。注意f(1, n) = f(m, 1) = 1。

基于这点，我们很容易写出递归的代码：

// 机器人在一个m*n的矩形上只向右或向下走的路径数

int get_paths(int m, int n)
{
    // 对于1*或*1的矩形，只有一条路径
    if (m == 1 || n == 1)
        return 1;
    // 向下走 + 像右走
    return get_paths(m - 1, n) + get_paths(m, n - 1);
}

// 机器人在一个n*n的正方形上只向右或向下走的路径数
int get_paths(int n)
{
    return get_paths(n, n);
}

但是，我们发现这样的代码中，会有很多重复计算。我们可以将递归的结果用一个数组存起来，如果发现不存在，我们就递归计算下去，如果存在的话，就直接取出使用。

另外，我们可以采用DP（动态规划的思想）来解决这题。怎么说呢，因为我们从递归的写法看到，问题的结果往往依赖于子问题的结果。DP的思想就是，不管有用没用，我们将所有的子问题的值都算出来，然后由子问题组成最终我们要求的问题。代码如下：

// 机器人在一个n*n的正方形上只向右或向下走的路径数，DP求解
int get_paths_dp(int n)
{
    int **a = new int*[n];
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; i++)
        a[i] = new int[n];
    // 初始化，对于1*或*1的矩形，只有一条路径
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        a[0][i] = 1;
        a[i][0] = 1;
    }

    for (i = 1; i < n; i++)
        for (j = 1; j < n; j++)
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1];
    j = a[n - 1][n - 1];
    for (i = 0; i < n; i++)
        delete[] a[i];
    delete[] a;
    return j;
}