100题_32 两个序列的和的差最小

有两个序列a,b，大小都为n,序列元素的值任意整数，无序；
要求：通过交换a,b 中的元素，使[序列a 元素的和]与[序列b 元素的和]之间的差最小。
例如:
var a=[100,99,98,1,2, 3];
var b=[1, 2, 3, 4,5,40];

 

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2011年3月23日更新

感谢lambda2fei同学的提醒，下面的介绍的贪心方法，对于有的测试用例不好用，正确的方法等我思考明白了之后再补上。  

 

 

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这个题可以用递归的思想来解决：

首先将这两个数组合成一个数组，并按从小到大的顺序排序，取出最大的和次大的。将剩余的2n-2个元素递归分成两个和的差最小的两部分。这样和比较小的加上最大的那个元素和和比较大的加上次大的元素将是整个序列的最小和差划分，可以用数学归纳法来证明。

代码如下（Python）：

def mean(sorted_list, list_b = []):
    if list_b:
        sorted_list.extend(list_b)
        sorted_list.sort()
    
    if not sorted_list:
        return ([], [])

    big_list,small_list = mean(sorted_list[:-2])

    big_list.append(sorted_list[-2])
    small_list.append(sorted_list[-1])

    if sum(big_list) > sum(small_list):
        return (big_list, small_list)
    else:
        return (small_list, big_list)

def main():
    a = [100, 98, 99, 1, 2, 3]
    b = [1, 2, 3, 4, 5, 40]
    big, small = mean(a, b)
    print(big)
    print(small)
    
if __name__ == '__main__':
    main()

 

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2011年4月11日更新

当数组a和b的和之差为A = sum(a) - sum(b)，a的第i个元素和b的第j个元素交换后，a和b的和之差为：

A' = sum(a) - a[i] + b[j] - (sum(b) - b[j] + a[i])

    = sum(a) - sum(b) - 2 (a[i] - b[j])

    = A - 2 (a[i] - b[j])

设 x = a[i] - b[j]

|A| - |A'| = |A| - |A - 2x|

假设A > 0，

当x在(0, A)之间时，做这样的交换才能使得交换后的a和b的和之差变小，x越接近A/2效果越好，如果找不到在 (0, A)之间的x，则当前的a和b就是答案。

所以大概算法如下：在a和b中寻找使得x在(0, A)之间，并且最接近A/2的i和j，交换相应的i和j元素，重新计算A后，重复前面的步骤知道找不到(0, A)之间的x为止。

代码如下：

def mean(a, b):
    if sum(a) < sum(b):
        array = a
        a = b
        b = array
    diff_sum = sum(a) - sum(b)
    loop = True
    while loop:
        loop = False
        md = diff_sum / 2
        for i in range(0, len(a)):
            for j in range(0, len(b)):
                x = a[i] - b[j]
                if x < diff_sum and x > 0:
                    loop = True
                    if abs(x - diff_sum / 2) < md:
                        md = abs (x - diff_sum / 2)
                        mi = i
                        mj = j
        if loop:
            tmp = a[mi]
            a[mi] = b[mj]
            b[mj] = tmp
            diff_sum = diff_sum - 2 * (b[mj] - a[mi])
            if diff_sum < 0:
                array = a
                a = b
                b = array
                diff_sum = - diff_sum

def main():
    a = [7, 9, 10]
    b = [6, 2, 8]
    mean(a, b)
    print (a)
    print (b)
if __name__ == '__main__':
    main()