[转]平面方程

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平面方程

平面上的一点以及垂直于该平面的法线唯一定义了 3D 空间的一个平面。

Graph of a plane in 3D

图1 3D空间中的平面

在图一中,给定法线向量 normal vector ,以及平面上的一点 P1,对于平面上的任意一点 P ,我们可以在平面上定义一个由 P1 指向 P 的向量:

因为法线 normal vector 垂直于平面,它必定也垂直于位于平面上的向量 ,因此它们的点积为 0 :

以上就是平面方程的向量形式,下面我们来看代数形式的,通过点积计算,我们得到:

equation of a plane

如果我们用 来替代上面表达式中的常数部分,就得到平面方程的代数形式

equation of a plane

原点到平面的距离

如果法线是归一化的,那么平面方程中的常数表达式 d 就是原点到平面的距离。

Plane with unit normal
(图二)平面和归一化法线

如图二中,给定归一化法线向量 (a1, b1, c1),以及平面上的一点 P1 (Da1, Db1, Dc1),我们来推导原点到平面的距离 D。 将法线向量(a1, b1, c1) 和点 P1 代入平面方程,得到:

因此,我们可以用标准平面方程除以法线的模(法线长度)来计算原点到平面的距离。举个例子,原点到以 (1, 2, 2) 为法线的平面(x + 2y + 2z - 6 = 0)的距离为 2,计算过程如下:

任意点到平面的距离

Distance between Plane and Point
(图三) 任意点到平面的距离

如图三中,我们来推导空间中任意一点 P2 到平面的距离 D 的计算公式。P2 到平面的距离等于由 P1 指向 P2 的向量 在法线向量 上的投影。我们用点积来计算投影距离 D :

展开分子

代入前面的距离公式,得到最终的点到平面的距离公式

distance between plane and point

观察上面的式子,我们就可以发现距离 D 是将点 P2 代入平面方程中,再除以法线的模得到的。举个例子,点(-1, -2, -3)到平面 x + 2y + 2z - 6 = 0 的距离为:

注意:距离是有符号的!它可以为负值,我们可以通过这个符号来决定点位于平面的哪一边(D > 0,点在平面的正面-法线指向那一边;D < 0,带在平面的反面-法线相反方向的那一边,当然 D = 0 就是在平面上啦!)。

posted on 2013-02-06 15:05  youthlion  阅读(1190)  评论(0编辑  收藏  举报

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