P4451 [国家集训队]整数的lqp拆分 生成函数
题意：
分析：
先推一波斐波那契的生成函数
\[F(x)=x+x^2+2x^3\dots f_n x^n
\\
xF(x)=x^2+x^3\dots f_nx^{n+1}
\\
x^2F(x)=x^3\dots f_nx^{n+2}
\\
\therefore F(x)=x+xF(x)+x^2F(x)
\\
F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}
\]
我们统计的答案就是
\[G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} F(i)x^i=\frac{1}{1-F(x)}=\frac{1}{1-\frac{x}{1-x-x^2}}=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}=1+\frac{x}{1-2x-x^2}
\]
我们现在要通过 OGF 反推原序列，根据 著名的恒等式 \(\displaystyle \frac{1}{1-ax}=\sum_{i=0}^{\infty} a^ix^i\) 我们要尽力的把上面式子的第二项向这个形式上化简
\[\frac{x}{1-2x-x^2}
\\
=-\frac{x}{(x-x1)(x-x2)}
\\
=\frac{x}{x1-x2}(\frac{1}{x-x1}-\frac{1}{x-x2})
\\
=\frac{x}{x1-x2}(\frac{1}{x1}*\frac{1}{1-\frac{x}{x1}}-\frac{1}{x2}*\frac{1}{1-\frac{x}{x2}})
\\
=\frac{x}{x1-x2}(\frac{1}{x1}*\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x1})^i-\frac{1}{x2}*\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x2})^i)
\\
=\frac{1}{x1-x2}(\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x1})^{i+1}-\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{x}{x2})^{i+1})
\]
那么第 \(n\) 项 （次数为 \(n-1\) ）的系数为 \(\frac{1}{x1-x2}(\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{x1})^n-\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{x2})^n)\)
将 \(x1,x2\) 等于 \(-1\pm\sqrt 2\) 带入
\([x^n]=\frac{\sqrt 2}{4}((1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt 2)^n)\)
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define inl inline
#define reg register
using namespace std;
namespace zzc
{
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const ll sqr = 59713600;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x*10+ch-48)%(mod-1);ch=getchar();}
return x*f;
}
ll qpow(ll x,ll y)
{
ll res=1;
while(y)
{
if(y&1) res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=1;
}
return res;
}
void work()
{
ll n=read();
printf("%lld\n",(sqr/4*(qpow(sqr+1,n)-qpow(mod-sqr+1,n)+mod)%mod)%mod);
}
}
int main()
{
zzc::work();
return 0;
}
