CF1237F Balanced Domino Placements 组合数学+计数DP

题意：

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分析：

可以考虑简化问题，考虑 \(1\times n\) 的一行中，有一些不能放，放 \(a\) 个一格骨牌， \(b\) 个两格骨牌的方案数。

设 \(f(i,j)\) 表示前 \(i\)个格子放 \(j\)个两格的方案数。

那如果 \(i,i−1\) 都能放， \(f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-2,j-1)\)

否则 \(f(i,j)=f(i-1,j)\)

最后放 \(a\) 个一格骨牌， \(b\)个两格骨牌的方案数 = \(f(n,b)*C(cnt-2\times b,a)\)，\(cnt\) 表示一行有多少个可以放的格子。

画图会发现，一些行，一些列是不能放的，可以看做上面的简化版问题，所以我们对每一行，每一列都求一下上面的 dp 值，放进 \(f,g\) 两个数组里。

放一个横放的骨牌相当于占掉一行两列，放一个竖放的骨牌相当于占掉一列两行。

枚举 \(i\) 个横放，\(j\) 个竖放，答案为

\[\sum f(n,j)\times g(m,i) \times C_{cntx-2\times i}^j\times C_{cnty-2\times j}^i\times i!\times j! \]

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	inline int read()
	{
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	
	const int maxn = 35;
	const int maxm = 905;
	const int mod = 1e9+9;
	int c[maxm][maxm];
	int f[maxn][maxn][maxm],g[maxn][maxn];
	int n,m,k;
	long long ans=0;
	
	void init()
	{
		c[0][0]=1;
		c[1][0]=c[1][1]=1;
		for(int i=2;i<=900;i++)
		{
			c[i][0]=1;
			for(int j=1;j<=i;j++)
			{
				c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
			}
		}
	}
	
	void work()
	{
		int a;
		init();
		n=read();m=read();k=read();
		f[0][0][0]=1; 
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			a=read();
			memset(g,0,sizeof(g));
			for(int x=1;x<=n;x++)
			{
				for(int y=1;y<=m;y++)
				{
					if(x*y>=a)
					{
						g[x][y]=c[x*y][a];
						for(int l=1;l<=x;l++)
						{
							for(int r=1;r<=y;r++)
							{
								if(l<x||r<y) g[x][y]=(g[x][y]-(long long)g[l][r]*c[x][l]%mod*c[y][r]%mod+mod)%mod;
							}
						}
					}
				}
			}
			for(int x=1;x<=n;x++)
			{
				for(int y=1;y<=m;y++)
				{
					for(int l=0;l<=x;l++)
					{
						for(int r=0;r<=y;r++)
						{
							int tmpx=x-l;
							int tmpy=y-r;
							if(tmpx*tmpy>=a)
							{
								f[x][y][i]=(f[x][y][i]+(long long)f[l][r][i-1]*g[tmpx][tmpy]%mod*c[n-l][tmpx]%mod*c[m-r][tmpy]%mod)%mod;
							}
						}
					}
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				ans=(ans+f[i][j][k])%mod;
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}