AT2005 [AGC003E] Sequential operations on Sequence 单调栈+二分+差分

题意：

一串数，初始为 \(1\sim n\)，现在给 \(Q\) 个操作，每次操作把数组长度变为 \(q_i\)，新增的数为上一个操作后的数组的重复。问 次 \(Q\) 操作后 \(1\sim n\) 每个数出现了多少次。

范围&性质：\(0\le n,Q\le 10^5,1\le q_i\le 10^{18}\)

分析：

首先我们观察发现： 对于一段单调递减的 \(q_i\) 序列来说等价于直接进行最小的一项（即最后的一项）操作

所以原序列可以转化成一段单调递增序列

由于 \(n\) 很小，但是 \(q_i\) 很大，所以我们不能记下最后整个序列，只能记下每个数被用了多少次，即我们记 \(ans_i\) 表示 \(i\) 在最终序列中出现了多少次

然后通过模拟可以发现，最终答案可以看成第一个序列的 \(k\) 倍加上一堆边角料，所以我们通过倒推的方法求得 \(k\) 转移如下，记 \(s_i\)为最终序列是第 \(i\) 次操作后的多少倍

\[s_{i-1}=\frac{q_i}{q_{i-1}-1}\times s_i+s_i \ mod \ s_{i-1} \]

其中\(s_i\ mod \ s_{i-1}\) 可以看成是 \(s_j\) （\(j\le i\) ）的倍数，这个边角料的计算过程可以通过二分加递归得到

整体复杂度就是\(O(n \log^2 n)\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	inline long long read()
	{
		long long x=0,f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	
	const int maxn = 1e5+5;
	long long f[maxn],g[maxn],a[maxn]; 
	long long n,q,len;
	
	void calc(long long d,long long w)
	{
		long long pos=upper_bound(a+1,a+len+1,d)-a-1;
		if(!pos) g[1]+=w,g[d+1]-=w;
		else f[pos]+=d/a[pos]*w,calc(d%a[pos],w);
	}
	
	void work()
	{
		long long x;
		n=read();q=read();
		a[++len]=n;
		for(int i=1;i<=q;i++)
		{
			x=read();
			while(len&&x<=a[len]) len--;
			a[++len]=x;
		}
		f[len]=1;
		for(int i=len;i>=2;i--)
		{
			f[i-1]+=a[i]/a[i-1]*f[i];
			calc(a[i]%a[i-1],f[i]);
		}
		g[1]+=f[1];
		g[a[1]+1]-=f[1];
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",g[i]+=g[i-1]);	
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}