P2605 [ZJOI2010]基站选址 线段树优化DP

题意：

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分析：

我们发现题目里面每一个建立的基站可能会对之前的状态有所影响，所以我们在设计DP状态时需要将这种影响消除掉

我们设\(f[i][j]\)表示在第\(i\)个村庄修建第\(j\)个基站且不考虑对\([i+1，n]\)个村庄的影响时的最小费用

• 转移方程就是 \(f[i][j]=min(f[k][j-1]+cost[k][i]+c[i])\)，其中\(cost[k][i]\)表示在\(i,k\)建立基站后，\([k+1,i-1]\)内没有被覆盖的村庄赔付的和值，这样的DP复杂度是\(O(n^2k)\)
• 我们考虑怎么优化，首先可以滚动数组滚掉一维，\(f[i]=min(f[k]+cost[k][i])+c[i]\)
• 然后我们发现对于\(cost[k][i]\)来说，每个村庄的贡献时独立的，我们记\(lef[i],rig[i]\)表示每一个村庄能接受信号的左右边界，那么对于第\(i\)个村庄安装基站时，从\([1,lef[k]-1]\)转移来的状态必定会赔付村庄\(k\)的费用
• 也就是说我们我们需要一个支持区间修改，区间查询最小值的数据结构，所以我们用线段树维护\(f[k]+cost[k][i]\)（此时\(i\)是在外层枚举的，线段树只要维护\(k\)的信息就可以了），复杂度\(O(nlog_nk)\)

代码：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

namespace zzc
{
	const int maxn = 2e4+5;
	const int inf = 0x3f3f3f3f;
	int n,k,ans;
	int c[maxn],w[maxn],s[maxn],f[maxn],d[maxn],lef[maxn],rig[maxn],val[maxn<<3],tag[maxn<<3];
	vector<int> pos[maxn];
	
	void pushup(int x)
	{
		val[x]=min(val[x<<1],val[x<<1|1]);
	}
	
	void pushdown(int x)
	{
		if(!tag[x]) return ;
		tag[x<<1]+=tag[x];
		tag[x<<1|1]+=tag[x];
		val[x<<1]+=tag[x];
		val[x<<1|1]+=tag[x];
		tag[x]=0;
	}
	
	void build(int rt,int l,int r)
	{
		tag[rt]=0;
		if(l==r)
		{
			val[rt]=f[l];
			return ;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(rt<<1,l,mid);
		build(rt<<1|1,mid+1,r);
		pushup(rt);
	}
	
	void update(int rt,int l,int r,int ll,int rr,int v)
	{
		if(l>r) return ;
		if(l>=ll&&r<=rr) 
		{
			val[rt]+=v;
			tag[rt]+=v;
			return ;
		}
		pushdown(rt);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(ll<=mid) update(rt<<1,l,mid,ll,rr,v);
		if(mid<rr) update(rt<<1|1,mid+1,r,ll,rr,v);
		pushup(rt);
	}
	
	int query(int rt,int l,int r,int ql,int qr)
	{
		if(ql>qr) return inf;
		if(l>=ql&&r<=qr) return val[rt];
		pushdown(rt);
		int mid=(l+r)>>1;
		int res=inf;
		if(ql<=mid) res=min(res,query(rt<<1,l,mid,ql,qr));
		if(mid<qr) res=min(res,query(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
		return res;
	}
	
	void work()
	{
		ios::sync_with_stdio(false);
		cin>>n>>k;k++;
		for(int i=2;i<=n;i++) cin>>d[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
		n++;w[n]=d[n]=inf;
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			lef[i]=lower_bound(d+1,d+n+1,d[i]-s[i])-d;
			rig[i]=lower_bound(d+1,d+n+1,d[i]+s[i])-d;
			if(d[rig[i]]>d[i]+s[i]) rig[i]--;
			pos[rig[i]].push_back(i);
		} 
		
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			if(i==1)
			{
				int res=0;
				for(int j=1;j<=n;j++)
				{
					f[j]=res+c[j];
					for(int l=0;l<pos[j].size();l++) res+=w[pos[j][l]];
				}
				ans=f[n];
			}
			else
			{
				build(1,1,n);
				for(int j=1;j<=n;j++)
				{
					f[j]=query(1,1,n,1,j-1)+c[j];
					for(int l=0;l<pos[j].size();l++) if(lef[pos[j][l]]>1) update(1,1,n,1,lef[pos[j][l]]-1,w[pos[j][l]]);	
				}
				ans=min(ans,f[n]);
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}