P2757 [国家集训队]等差子序列 数学+权值树状数组
题意:
给定一个大小为\(n\)的排列,问是否存在一组序列\(1\le p_1\le p_2 \dots\le p_{len}(3\le len)\),使得\(a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_len}\)是等差数列,多组询问
范围&性质:\(1\le n\le 10^5,1\le t\le 7\)
分析:
暴力做法:
一眼看出\(O(tn^2)\)的做法,枚举一个中间数,查询左右是否存在两数使得和值等于\(2*a_i\)
正解:
首先先考虑我们所取数的范围,对于\(a_i\)只有\([1,a_i*2-1]\)的值会对答案有影响,它的右端点分两种情况考虑:
- 若\(a_i*2-1\le n\),取值范围为\([1,a_i*2-1]\)
- 若\(a_i*2-1>n\),取值范围为\([2*a_i-n,n]\)
接下来我们考虑怎么优化暴力,由于是排列,所以对于每一个固定的中间数,能拼成一对(也就是和为\(2*a_i\))的数对也是固定的,当其中一对出现在了同一侧时,他们就无法贡献答案可以消掉。也就是说当\(a_i\)左侧处于取值范围内的数,和值是\(2*a_i\)的倍数,并且\(a_i\)右侧处于取值范围内的数,和值为\(2*a_i\)的倍数时无解。
tip:注意一定要左右都成立才无解
实现方法就是建一颗值域树状数组,先从左向右枚举每个点作为中间数,统计已经出现的数中,在范围内的数和值是多少记作\(l[i]\),依次加入,在从右向左扫一遍处理出\(r[i]\),最后整体扫一遍判断是否有解,当\(l[i],r[i]\)中任何一个不是\(2*a_i\)的倍数时有解
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace zzc
{
const int maxn = 1e5+5;
long long c[maxn],a[maxn],l[maxn],r[maxn];
long long t,n;
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long pos,long long k)
{
for(long long i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c[i]+=k;
}
}
long long query(long long pos)
{
long long res=0;
for(long long i=pos;i;i-=lowbit(i))
{
res+=c[i];
}
return res;
}
void work()
{
scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
memset(c,0,sizeof(c));
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(a[i]*2-1<=n) l[i]=query(a[i]*2-1);
else l[i]=query(n)-query(2*a[i]-n-1);
update(a[i],a[i]);
}
for(int i=n;i>=1;i--)
{
if(a[i]*2-1<=n) r[i]=query(a[i]*2-1);
else r[i]=query(n)-query(a[i]*2-n-1);
update(a[i],a[i]);
}
bool flag=false;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(l[i]&&r[i]&&l[i]%(2*a[i])&&r[i]%(2*a[i]))
{
flag=true;
printf("Y\n");
break;
}
}
if(!flag) printf("N\n");
}
}
}
int main()
{
zzc::work();
return 0;
}