P2155 [SDOI2008]沙拉公主的困惑 欧拉函数

题意：

求\([1,n!]\)范围内与\(m!\)互质的数的个数，多组数据，答案对\(R\)取模

范围&性质: \(1\le m\le n\le 10^7,1\le t\le 10^4,R\)一定是质数

分析：

题目要求得到的其实就是

\[\sum_{i=1}^{n!}[gcd(i,m!)==1] \]

由于\(gcd(x,y)=1\)可以推得\(gcd(x+ky,y)=1\),并且题目保证\(m\le n\)所以我们将\(n!\)按照大小为\(m!\)划分成若干段，然后变换求和上界

\[ans= \frac{n!}{m!}\sum_{i=1}^{m!}[gcd(i,m!)==1] \]

我们发现后边的求和不就是欧拉函数吗？！！！再根据欧拉函数的定义式化简

\[ans=\frac{n!}{m!}\times m!\prod_{i=1}^k \frac{p_i-1}{p_i}=n!\times \prod_{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i} \]

所以我们只要\(O(n)\)的处理出阶乘和每一个数的\(\prod_{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}\)就可以了

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	const int maxn = 1e7+5;
	long long p[maxn>>3],ans[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
	bool vis[maxn];
	long long n,m,t,mod,cnt=0;
	
	void init()
	{
		for(long long i=2;i<=10000000;i++)
		{
			if(!vis[i]) 
			{
				p[++cnt]=i;
			}
			for(long long j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=10000000;j++)
			{
				vis[i*p[j]]=true;
				if(i%p[j]==0) break;
			}
		}
		fac[0]=fac[1]=1;
		for(long long i=2;i<=10000000;i++)
		{
			fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		}
		inv[0]=inv[1]=1;
		for(long long i=2;i<=10000000;i++)
		{
			inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
		}
		ans[0]=ans[1]=1;
		for(long long i=2;i<=10000000;i++)
		{
			ans[i]=ans[i-1];
			if(!vis[i]) ans[i]=ans[i]*(i-1)%mod*inv[i]%mod;
		}
	}
	
	void work()
	{
	    scanf("%lld%lld",&t,&mod);
		init();
		while(t--)
		{
			scanf("%lld%lld",&n,&m);
			printf("%lld\n",fac[n]*ans[m]%mod);
		}
	}
	
}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}