P4133 [BJOI2012]最多的方案 二分+DP

题意：

给定\(n\)，将\(n\)用一些斐波那契数的和表示，求有多少种表示方法，使得每种方案里不会出现相同的两个数

范围&性质：\(1\le n\le 10^{18}\)

分析：

由于每一个数只能用至多一次，所以题目就转换成了一个01背包问题，但是这个背包的物品体积和容量过大，所以我们需要考虑优化，首先由于斐波那契数增长极快，第91项时已经超过了\(10^{18}\)，所以我们只要先预处理出前91项，之后为了保证方案不重复，我们每次枚举删掉\(n\)范围内最大的斐波那契数，然后用小于ta的所有数去拼成剩下的部分，递归处理，这样可以保证方案不会重复

我们记\(f[i][j]\)表示用前\(i\)个数表示出\(j\)的最大方案数，转移式为\(dp[i][j]=\sum dp[k-1][i-f[k]]\)，k的取值的下界就是当\(sum[k]\)(表示前\(k\)个数的和)小于\(i\)是不能选，因为至少保证前\(k\)个数都选时方案存在，所以每次枚举\(k\)时lower_bound求出\(k\)的下界开始枚举

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
	long long f[100],sum[100];
	map<long long,long long> mp[100];
	long long n;
	
	void init()
	{
		f[1]=1;
		f[2]=2;
		for(int i=3;i<=91;i++)
		{
			f[i]=f[i-1]+f[i-2];
		}
		for(int i=1;i<=89;i++)
		{
			sum[i]=sum[i-1]+f[i];
		}
		sum[90]=sum[91]=0x7fffffffffff;
		for(int i=0;i<=91;i++)
		{
			mp[i][0]=1;
		}
	}
	
	void dfs(long long x,int lim)
	{
		if(mp[lim].count(x)) return ;
		int tmp=lower_bound(sum+1,sum+91+1,x)-sum;
		for(int i=tmp;i<=lim;i++)
		{
			if(x-f[i]<0) break;
			dfs(x-f[i],i-1);
			mp[lim][x]+=mp[i-1][x-f[i]];
		}
	}
	
	void work()
	{
		init();
		scanf("%lld",&n);
		dfs(n,91);
		printf("%lld",mp[91][n]);
	}
	
}

 int main()
 {
 	zzc::work();
 	return 0;
 }